2007 AMC 8 Problema 15

Question

Sean

a,

b

y

c

números con

0 \lt a \lt b \lt c.

¿Cuál de las siguientes es imposible?

Let

a,

b

and

c

be numbers with

0 \lt a \lt b \lt c.

Which of the following is impossible?

a + c \lt b

a \cdot b \lt c

a + b \lt c

a \cdot c \lt b

\dfrac{b}{c} = a

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Usa el hecho de que

b<c

y

a>0

.

Use the fact that

b<c

and

a>0

.

Pista grande:

Para las otras opciones, un contraejemplo basta para mostrar que son posibles

For the other choices, one counterexample is enough to show they are possible.

Solución:

Sabemos que

b \lt c

y

0 \lt a.

Al sumar estas dos desigualdades se obtiene

b \lt c + a.

Esto muestra que A es imposible y, por lo tanto, la respuesta correcta.

Para asegurarnos de que esto es correcto, podemos mostrar que las otras opciones son posibles.

B y C:

a = 1,

b = 2,

y

c = 4

.

D:

a = \dfrac{1}{3},

b = \dfrac{1}{2},

y

c = 1

.

E:

a = \dfrac{1}{2},

b = 1,

y

c = 2

.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We know that

b \lt c

and

0 \lt a.

Adding these two inequalities together yields

b \lt c + a.

This shows that A is impossible, and therefore the right answer.

To ensure that this is correct, we can show that the other options are possible.

B and C :

a = 1,

b = 2,

and

c = 4

D :

a = \dfrac{1}{3},

b = \dfrac{1}{2},

and

c = 1

E :

a = \dfrac{1}{2},

b = 1,

and

c = 2

Thus, A is the correct answer.