Question

求三位正整数 $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ ，它以九为底的表示为 $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}_{\,\text{nine}}$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是（不一定互不相同的）数字。

Find the three-digit positive integer $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ whose representation in base nine is $\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a}_{\,\text{nine}},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are (not necessarily distinct) digits.

答案

答案：227

知识点：进制数字模运算

难度评级：1950

解答：

条件表示 $100a + 10b + c = 81b + 9c + a$ ，化简为 $99a = 71b + 8c$ 。由于这些数字也出现在一个以九为底的数中，每个数字都至多为 $8$ 。模 $8$ 化简，得到 $3a \equiv -b \pmod 8$ ，所以 $b \equiv 5a \pmod 8$ 。

当 $a = 1$ 时， $b = 5$ 会使 $71b$ 超过 $99$ ；当 $a = 2$ 时， $b = 2$ 给出 $8c = 198 - 142 = 56$ ，所以 $c = 7$ 。对每个 $a \ge 3$ ，所需的 $b$ 都会迫使 $99a - 71b$ 落在区间 $[0, 64]$ 之外，因此没有其他解。

这个数是 $227$ ，并且确实有 $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_{\text{nine}}$ 。

The condition says $100a + 10b + c = 81b + 9c + a,$ which simplifies to $99a = 71b + 8c.$ Since the digits also appear in a base-nine numeral, each is at most $8.$ Reducing modulo $8$ gives $3a \equiv -b \pmod 8,$ so $b \equiv 5a \pmod 8.$

For $a = 1,$ $b = 5$ makes $71b$ exceed $99;$ for $a = 2,$ $b = 2$ gives $8c = 198 - 142 = 56,$ so $c = 7.$ For each $a \ge 3,$ the required $b$ forces $99a - 71b$ outside the range $[0, 64],$ so there is no other solution.

The number is $227,$ and indeed $227 = 2 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 2$ $= 272_{\text{nine}}.$

2022 AIME I 第 2 题

答案：227

难度评级：1950

解答：

其他年份的第 2 题