2020 AIME I 第 2 题

Question

存在唯一的正实数

x

，使得

\log_8(2x)

、

\log_4 x

和

\log_2 x

这三个数按此顺序构成一个公比为正的等比数列。数

x

可写成

\frac{m}{n}

，其中

m

与

n

是互质正整数。求

m + n

。

There is a unique positive real number

x

such that the three numbers

\log_8(2x),

\log_4 x,

and

\log_2 x,

in that order, form a geometric progression with positive common ratio. The number

x

can be written as

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：17

知识点：对数等比数列

难度评级：1950

小提示：

设

t = \log_2 x

；这三项变为

\frac{1+t}{3}

、

\frac{t}{2}

和

t

。

Set

t = \log_2 x;

the three terms become

\frac{1+t}{3},

\frac{t}{2},

and

t.

大提示：

中项平方等于两端项乘积；解出

t

，并舍去

t = 0

。

The middle term squared equals the product of its neighbors; solve for

t,

discarding

t = 0.

解答：

设

t = \log_2 x

。则

\log_4 x = \frac{t}{2}

，且

\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}

。在等比数列中，中项的平方等于两端项的乘积：

\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t\text{。}

因为

t = 0

不会给出有效公比，所以可除以

t

：

\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3}

，于是

3t = 4 + 4t

，得

t = -4

。因此

x = 2^{-4} = \frac{1}{16}

，此时数列为

-1

、

-2

、

-4

，公比为

2

，确实为正。

所以

m + n = 1 + 16 = 17

。

Let

t = \log_2 x.

Then

\log_4 x = \frac{t}{2}

and

\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.

In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms:

\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.

Since

t = 0

gives no valid ratio, divide by

t:

\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},

so

3t = 4 + 4t

and

t = -4.

Thus

x = 2^{-4} = \frac{1}{16},

and the progression is

-1,

-2,

-4

with common ratio

2,

which is positive as required.

Therefore

m + n = 1 + 16 = 17.

2020 AIME I 第 2 题

答案：17

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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