Question

存在唯一的正实数 $x$ ，使得 $\log_8(2x)$ 、 $\log_4 x$ ，和 $\log_2 x$ ，这三个数按此顺序构成一个公比为正的等比数列。数 $x$ 可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

There is a unique positive real number $x$ such that the three numbers $\log_8(2x),$ $\log_4 x,$ and $\log_2 x,$ in that order, form a geometric progression with positive common ratio. The number $x$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：17

知识点：对数等比数列

难度评级：1950

解答：

设 $t = \log_2 x$ 。则 $\log_4 x = \frac{t}{2}$ ，且 $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}$ 。在等比数列中，中项的平方等于两端项的乘积： $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

因为 $t = 0$ 不会给出有效公比，所以可除以 $t$ ： $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3}$ ，于是 $3t = 4 + 4t$ ，得 $t = -4$ 。因此 $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$ ，此时数列为 $-1$ 、 $-2$ 、 $-4$ ，公比为 $2$ ，确实为正。

所以 $m + n = 1 + 16 = 17$ 。

Let $t = \log_2 x.$ Then $\log_4 x = \frac{t}{2}$ and $\log_8(2x) = \frac{1 + t}{3}.$ In a geometric progression the middle term squared equals the product of the outer terms: $\left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1 + t}{3} \cdot t.$

Since $t = 0$ gives no valid ratio, divide by $t:$ $\frac{t}{4} = \frac{1 + t}{3},$ so $3t = 4 + 4t$ and $t = -4.$ Thus $x = 2^{-4} = \frac{1}{16},$ and the progression is $-1,$ $-2,$ $-4$ with common ratio $2,$ which is positive as required.

Therefore $m + n = 1 + 16 = 17.$

2020 AIME I 第 2 题

答案：17

难度评级：1950

解答：

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