Question

正整数 $a$ 和 $b$ 满足条件求所有可能的 $a + b$ 的值之和。 $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$

Positive integers $a$ and $b$ satisfy the condition $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ Find the sum of all possible values of $a + b.$

答案

答案：881

知识点：对数指数分类讨论

难度评级：2030

解答：

从外向内计算， $\log_2(\cdot) = 0$ 强制 $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1$ ，所以 $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a$ ，从而 $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}$ 。因此 $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

因为 $a \ge 1$ ，且 $b$ 是正整数， $2^a$ 必须是 $2$ 、 $4$ 、 $8$ 中的一个，得到 $(a, b) = (1, 500)$ 、 $(2, 250)$ 、 $(3, 125)$ 。所有可能的 $a + b$ 的值之和为 $501 + 252 + 128 = 881$ 。

Working from the outside in, $\log_2(\cdot) = 0$ forces $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,$ so $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,$ so $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.$ Hence $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

Since $a \ge 1$ and $b$ is a positive integer, $2^a$ must be one of $2,$ $4,$ $8,$ giving $(a, b) = (1, 500),$ $(2, 250),$ $(3, 125).$ The sum of all possible values of $a + b$ is $501 + 252 + 128 = 881.$

2013 AIME II 第 2 题

答案：881

难度评级：2030

解答：

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