2009 AIME II 第 3 题

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3.

在长方形

ABCD

中，

AB = 100

。令

E

为

\overline{AD}

的中点。已知直线

AC

与直线

BE

垂直，求小于

AD

的最大整数。

In rectangle

ABCD,

AB = 100.

Let

E

be the midpoint of

\overline{AD}.

Given that line

AC

and line

BE

are perpendicular, find the greatest integer less than

AD.

答案

答案：141

知识点：坐标几何斜率矩形

难度评级：1890

小提示：

建立坐标：

A = (0, 0)

、

B = (100, 0)

、

D = (0, h)

，则

E = (0, \frac{h}{2})

，且

C = (100, h)

Place coordinates:

A = (0, 0),

B = (100, 0),

D = (0, h),

so

E = (0, \frac{h}{2})

and

C = (100, h)

大提示：

垂直直线的斜率乘积为

-1

：

\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1

Perpendicular lines have slopes whose product is

-1:

\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1

解答：

设

AD = h

，并取

A = (0, 0)

、

B = (100, 0)

、

C = (100, h)

、

D = (0, h)

，因此

E = \left(0, \frac{h}{2}\right)

。直线

AC

的斜率为

\frac{h}{100}

，直线

BE

的斜率为

\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}

。由垂直可得

\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1\text{，}

所以

h^2 = 20000

，且

h = 100\sqrt{2} \approx 141.42

。

小于

AD

的最大整数是

141

。

Let

AD = h,

and place

A = (0, 0),

B = (100, 0),

C = (100, h),

D = (0, h),

so

E = \left(0, \frac{h}{2}\right).

Line

AC

has slope

\frac{h}{100}

and line

BE

has slope

\frac{\frac{h}{2}}{-100} = -\frac{h}{200}.

Perpendicularity gives

\frac{h}{100} \cdot \left(-\frac{h}{200}\right) = -1,

so

h^2 = 20000

and

h = 100\sqrt{2} \approx 141.42.

The greatest integer less than

AD

is

141.