Question

有多少个正整数恰好有三个真因数，并且每个真因数都小于 $50$ ？（正整数 $n$ 的 真因数 是 $n$ 的正因数中除了 $n$ 本身以外的因数。）

How many positive integers have exactly three proper divisors, each of which is less than $50?$ (A proper divisor of a positive integer $n$ is a positive integer divisor of $n$ other than $n$ itself.)

答案

答案：109

知识点：因数个数质数组合

难度评级：2070

解答：

一个恰好有三个真因数的整数总共有四个因数，所以它要么是 $n = pq$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是不同质数（真因数为 $1, p, q$ ），要么是 $n = p^3$ ，其中 $p$ 是质数（真因数为 $1, p, p^2$ ）。

第一种情形需要 $p$ 和 $q$ 都小于 $50$ 。小于 $50$ 的质数有 $15$ 个，给出 $\binom{15}{2} = 105$ 个这样的数。第二种情形需要 $p^2 \lt 50$ ，这对 $p = 2, 3, 5, 7$ 成立，另有 $4$ 个。

总数为 $105 + 4 = 109$ 。

An integer with exactly three proper divisors has exactly four divisors in total, so it is either $n = pq$ with $p$ and $q$ distinct primes (proper divisors $1, p, q$ ) or $n = p^3$ with $p$ prime (proper divisors $1, p, p^2$ ).

In the first case we need $p$ and $q$ both less than $50.$ There are $15$ primes below $50,$ giving $\binom{15}{2} = 105$ such numbers. In the second case we need $p^2 \lt 50,$ which holds for $p = 2, 3, 5, 7,$ giving $4$ more.

The total is $105 + 4 = 109.$

2005 AIME I 第 3 题

答案：109

难度评级：2070

解答：

其他年份的第 3 题