Question

$ABCD$ 是一张长方形纸片，折叠后使角 $B$ 与边 $\overline{AD}$ 上的点 $B'$ 重合。折痕为 $\overline{EF}$ ，其中 $E$ 在 $\overline{AB}$ 上， $F$ 在 $\overline{CD}$ 上。已知 $AE = 8$ 、 $BE = 17$ 、 $CF = 3$ 。长方形 $ABCD$ 的周长为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

$ABCD$ is a rectangular sheet of paper that has been folded so that corner $B$ is matched with point $B'$ on edge $\overline{AD}.$ The crease is $\overline{EF},$ where $E$ is on $\overline{AB}$ and $F$ is on $\overline{CD}.$ The dimensions $AE = 8,$ $BE = 17,$ and $CF = 3$ are given. The perimeter of rectangle $ABCD$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：293

知识点：折纸勾股定理坐标几何

难度评级：2650

解答：

折叠把 $B$ 关于折痕反射到 $B'$ ，所以 $B'E = BE = 17$ 。在直角三角形 $AEB'$ 中， $AB' = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$ ，且 $AB = AE + EB = 25$ 。取 $A = (0, 0)$ 、 $B = (25, 0)$ 、 $B' = (0, 15)$ 。

折痕上的点到 $B$ 和 $B'$ 等距，所以 $\overline{EF}$ 垂直于 $\overline{BB'}$ 。由于 $BB'$ 的斜率为 $-\frac{3}{5}$ ，过 $E = (8, 0)$ 的折痕斜率为 $\frac{5}{3}$ ，它与直线 $CD$ （高度 $h = BC$ ）相交处的横坐标为 $x = 8 + \frac{3h}{5}$ 。条件 $CF = 3$ 给出 $25 - \left(8 + \frac{3h}{5}\right) = 3,$ 所以 $h = \frac{70}{3}.$

周长为 $2\left(25 + \frac{70}{3}\right) = \frac{290}{3}$ ，所以 $m + n = 290 + 3 = 293$ 。

Folding reflects $B$ to $B'$ across the crease, so $B'E = BE = 17.$ In right triangle $AEB',$ $AB' = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15,$ and $AB = AE + EB = 25.$ Place $A = (0, 0),$ $B = (25, 0),$ $B' = (0, 15).$

Points on the crease are equidistant from $B$ and $B',$ so $\overline{EF}$ is perpendicular to $\overline{BB'}.$ Since $BB'$ has slope $-\frac{3}{5},$ the crease through $E = (8, 0)$ has slope $\frac{5}{3},$ and it meets the line $CD$ (at height $h = BC$ ) at $x = 8 + \frac{3h}{5}.$ The condition $CF = 3$ gives $25 - \left(8 + \frac{3h}{5}\right) = 3,$ so $h = \frac{70}{3}.$

The perimeter is $2\left(25 + \frac{70}{3}\right) = \frac{290}{3},$ so $m + n = 290 + 3 = 293.$

2004 AIME II 第 7 题

答案：293

难度评级：2650

解答：

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