Question

设 $ABCDE$ 是一个凸五边形，且 $\overline{AB} \parallel \overline{CE}$ ， $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ ， $\overline{AC} \parallel \overline{DE}$ ， $\angle ABC = 120^\circ$ ， $AB = 3$ ， $BC = 5$ ， $DE = 15$ 。已知三角形 $ABC$ 的面积与三角形 $EBD$ 的面积之比为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Let $ABCDE$ be a convex pentagon with $\overline{AB} \parallel \overline{CE},$ $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ $\overline{AC} \parallel \overline{DE},$ $\angle ABC = 120^\circ,$ $AB = 3,$ $BC = 5,$ and $DE = 15.$ Given that the ratio between the area of triangle $ABC$ and the area of triangle $EBD$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

答案

答案：484

知识点：相似平行四边形余弦定理面积比

难度评级：3160

解答：

由余弦定理， $AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ$ $= 49$ ，所以 $AC = 7$ 。令 $F$ 为 $\overline{AD}$ 与 $\overline{CE}$ 的交点。因为 $AF \parallel BC$ 且 $CF \parallel AB$ ，四边形 $ABCF$ 是平行四边形，所以 $F$ 与 $B$ 到直线 $AC$ 的距离相等且分居两侧。设该距离为 $h$ ，则 $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 7h$ 。

因为 $\overline{AC} \parallel \overline{DE}$ ，三角形 $FAC$ 与 $FDE$ 相似，比例为 $AC : DE = 7 : 15$ ，所以 $F$ 到直线 $DE$ 的距离为 $\frac{15h}{7}$ ，且 $DE$ 在 $F$ 远离 $AC$ 的一侧。因此 $B$ 到直线 $DE$ 的距离为 $h + h + \frac{15h}{7} = \frac{29h}{7}$ ，从而 $[EBD] = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{29h}{7} = \frac{435h}{14}.$

因此 $\frac{[ABC]}{[EBD]} = \frac{7h/2}{435h/14} = \frac{49}{435}$ 。由于 $435 = 3 \cdot 5 \cdot 29$ ，该分数已最简，答案为 $m + n = 49 + 435 = 484$ 。

By the law of cosines, $AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos 120^\circ$ $= 49,$ so $AC = 7.$ Let $F$ be the intersection of $\overline{AD}$ and $\overline{CE}.$ Since $AF \parallel BC$ and $CF \parallel AB,$ quadrilateral $ABCF$ is a parallelogram, so $F$ lies at the same distance $h$ from line $AC$ as $B,$ on the opposite side, where $[ABC] = \frac{1}{2} \cdot 7h.$

Since $\overline{AC} \parallel \overline{DE},$ triangles $FAC$ and $FDE$ are similar with ratio $AC : DE = 7 : 15,$ so the distance from $F$ to line $DE$ is $\frac{15h}{7},$ with $DE$ on the far side of $F$ from $AC.$ The distance from $B$ to line $DE$ is therefore $h + h + \frac{15h}{7} = \frac{29h}{7},$ giving $[EBD] = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{29h}{7} = \frac{435h}{14}.$

Thus $\frac{[ABC]}{[EBD]} = \frac{7h/2}{435h/14} = \frac{49}{435},$ which is in lowest terms since $435 = 3 \cdot 5 \cdot 29.$ The answer is $m + n = 49 + 435 = 484.$

2004 AIME II 第 13 题

答案：484

难度评级：3160

解答：

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