Question

三角形 $ABC$ 满足 $AB = 21$ 、 $AC = 22$ 、 $BC = 20$ 。点 $D$ 和 $E$ 分别在 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 上， $\overline{DE}$ 平行于 $\overline{BC}$ ，且经过三角形 $ABC$ 的内心。若 $DE = \frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质的正整数，求 $m + n$ 。

Triangle $ABC$ has $AB = 21,$ $AC = 22,$ and $BC = 20.$ Points $D$ and $E$ are located on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ is parallel to $\overline{BC}$ and contains the center of the inscribed circle of triangle $ABC.$ Then $DE = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：923

知识点：相似内切圆、内心与内切圆半径

难度评级：2390

解答：

因为 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ ，三角形 $ADE$ 与 $ABC$ 相似，相似比等于从 $A$ 作出的两条高之比。直线 $DE$ 经过内心，而内心到 $BC$ 的距离是内切圆半径 $r$ ，所以相似比为 $\frac{h - r}{h} = 1 - \frac{r}{h}$ ，其中 $h$ 是从 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的高。

若 $K$ 为面积， $s = \frac{21 + 22 + 20}{2} = \frac{63}{2}$ 为半周长，则 $r = \frac{K}{s}$ ，且 $h = \frac{2K}{20}$ ，因此 $\frac{r}{h} = \frac{20}{2s} = \frac{20}{63}.$

因此 $DE = 20\left(1 - \frac{20}{63}\right)$ $= 20 \cdot \frac{43}{63}$ $= \frac{860}{63}$ ，该分数已最简，所以 $m + n = 860 + 63 = 923$ 。

Since $\overline{DE} \parallel \overline{BC},$ triangles $ADE$ and $ABC$ are similar, and the ratio equals the ratio of their heights from $A.$ The line $DE$ passes through the incenter, which sits at height $r$ (the inradius) above $BC,$ so the ratio is $\frac{h - r}{h} = 1 - \frac{r}{h},$ where $h$ is the height from $A$ to $\overline{BC}.$

If $K$ is the area and $s = \frac{21 + 22 + 20}{2} = \frac{63}{2}$ the semiperimeter, then $r = \frac{K}{s}$ and $h = \frac{2K}{20},$ so $\frac{r}{h} = \frac{20}{2s} = \frac{20}{63}.$

Therefore $DE = 20\left(1 - \frac{20}{63}\right)$ $= 20 \cdot \frac{43}{63}$ $= \frac{860}{63},$ which is in lowest terms, and $m + n = 860 + 63 = 923.$

2001 AIME I 第 7 题

答案：923

难度评级：2390

解答：

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