Question

一个以 $\overline{PQ}$ 为直径且直径长为 $10$ 的圆，在 $P$ 点与一个半径为 $20$ 的圆内切。作正方形 $ABCD$ ，使 $A$ 和 $B$ 位于大圆上， $\overline{CD}$ 在 $Q$ 点与小圆相切，并且小圆位于 $ABCD$ 外部。 $\overline{AB}$ 的长度可写成 $m+\sqrt n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。求 $m+n$ 。

A circle with diameter $\overline{PQ}$ of length $10$ is internally tangent at $P$ to a circle of radius $20.$ Square $ABCD$ is constructed with $A$ and $B$ on the larger circle, $\overline{CD}$ tangent at $Q$ to the smaller circle, and the smaller circle outside $ABCD.$ The length of $\overline{AB}$ can be written in the form $m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are integers. Find $m+n.$

答案

答案：312

知识点：弦正方形（几何）二次方程

难度评级：2170

小提示：

将大圆的圆心置于原点，并使 $P$ 和 $Q$ 位于同一条直径上

Place the large circle at the origin and put $P$ and $Q$ on a diameter

大提示：

若正方形的边长为 $s$ ，则它的弦边 $AB$ 到大圆圆心的距离为 $|10-s|$

If the square’s side is $s$ , its chord side $AB$ lies at distance $|10-s|$ from the large circle’s center

解答：

将大圆的圆心置于原点，并令 $P=(20,0)$ 、 $Q=(10,0)$ 。设正方形的边长为 $s$ 。因为小圆位于正方形外部，所以 $\overline{CD}$ 位于直线 $x=10$ 上，而与它平行的弦 $\overline{AB}$ 位于直线 $x=10-s$ 上。由半径为 $20$ 的圆中的弦长公式， $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}\text{。}$ 平方后得到 $s^2-16s-240=0$ ，所以 $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}$ 。因此 $m+n=8+304=312$ 。

Put the large circle at the origin with $P=(20,0)$ and $Q=(10,0).$ Let the square’s side be $s.$ Because the smaller circle is outside the square, $\overline{CD}$ lies on $x=10$ and the parallel chord $\overline{AB}$ lies on $x=10-s.$ A chord of the radius- $20$ circle then gives $s=2\sqrt{400-(10-s)^2}.$ Squaring yields $s^2-16s-240=0,$ so $s=8+4\sqrt{19}=8+\sqrt{304}.$ Thus $m+n=8+304=312.$

1994 AIME 第 2 题

答案：312

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题