Question

设 $\overline{CH}$ 是 $\triangle ABC$ 的一条高。设 $R$ 和 $S$ 为两个切点：三角形 $ACH$ 和 $BCH$ 的内切圆分别在这两点与 $\overline{CH}$ 相切。若 $AB=1995$ 、 $AC=1994$ 、 $BC=1993$ ，则 $RS$ 可表示为 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质整数。求 $m+n$ 。

Let $\overline{CH}$ be an altitude of $\triangle ABC.$ Let $R$ and $S$ be the points where the circles inscribed in the triangles $ACH$ and $BCH$ are tangent to $\overline{CH}.$ If $AB=1995,$ $AC=1994,$ and $BC=1993,$ then $RS$ can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime integers. Find $m+n.$

答案

答案：997

知识点：高线内切圆、内心与内切圆半径余弦定理

难度评级：2560

小提示：

利用相应直角三角形的半周长，表示 $H$ 到各切点的距离

Express the distance from $H$ to each tangency point using the semiperimeter of its right triangle

大提示：

不先计算高，直接由边长求出 $AH-BH$

Find $AH-BH$ from the side lengths without first computing the altitude

解答：

令 $h=CH$ 。在直角三角形 $ACH$ 中，从 $H$ 到内切圆切点的切线长为 $\frac{AH+h-AC}{2}$ ；在三角形 $BCH$ 中，该长度为 $\frac{BH+h-BC}{2}$ 。因此 $\begin{aligned}RS&=\frac12\left|AH-BH\right.\\&\qquad\left.-AC+BC\right|\end{aligned}\text{。}$ 投影公式给出 $\begin{aligned}AH-BH&=\frac{AC^2-BC^2}{AB}\\&=\frac{1994^2-1993^2}{1995}\\&=\frac{3987}{1995}\end{aligned}\text{。}$ 由于 $AC-BC=1$ ， $RS=\frac12\left(\frac{3987}{1995}-1\right)=\frac{332}{665}\text{。}$ 所以 $m+n=332+665=997$ 。

Let $h=CH.$ In right triangle $ACH,$ the tangent length from $H$ to its incircle is $\frac{AH+h-AC}{2};$ in triangle $BCH,$ it is $\frac{BH+h-BC}{2}.$ Hence $\begin{aligned}RS&=\frac12\left|AH-BH\right.\\&\qquad\left.-AC+BC\right|.\end{aligned}$ The projection formula gives $\begin{aligned}AH-BH&=\frac{AC^2-BC^2}{AB}\\&=\frac{1994^2-1993^2}{1995}\\&=\frac{3987}{1995}.\end{aligned}$ Since $AC-BC=1,$ $RS=\frac12\left(\frac{3987}{1995}-1\right)=\frac{332}{665}.$ Thus $m+n=332+665=997.$

1993 AIME 第 15 题

答案：997

难度评级：2560

小提示：

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解答：

其他年份的第 15 题