Question

对正整数 $n$ ，定义 $S_n$ 为下列和的最小值： $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\text{，}$ 其中 $a_1$ 、 $a_2$ 、 $\ldots$ 、 $a_n$ 是和为 $17$ 的正实数。恰有一个正整数 $n$ 能使 $S_n$ 也是整数。求这个 $n$ 。

For positive integer $n,$ define $S_n$ to be the minimum value of the sum $\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2},$ where $a_1,$ $a_2,$ $\ldots,$ $a_n$ are positive real numbers whose sum is $17.$ There is a unique positive integer $n$ for which $S_n$ is also an integer. Find this $n.$

答案

答案：12

知识点：三角不等式向量平方差

难度评级：2720

小提示：

将每个根式看作向量 $(2k-1,a_k)$ 的长度，并应用三角不等式。

Interpret each radical as the length of a vector $(2k-1,a_k)$ and apply the triangle inequality

大提示：

求出 $S_n$ 后，利用它必须为整数这一条件，将所得平方差分解因式。

After finding $S_n$ , factor the difference of two squares that results from requiring it to be an integer

解答：

两个分量之和分别为 $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ 和 $\sum_{k=1}^na_k=17$ 。因此向量的三角不等式给出 $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}\end{aligned}\text{。}$ 令 $a_k$ 与 $2k-1$ 成正比即可取到等号，所以 $S_n=\sqrt{n^4+289}$ 。

若它等于整数 $m$ ，则 $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2\text{。}$ 因数对 $17,17$ 给出 $n=0$ ，而因数对 $1,289$ 给出 $m=145$ 和 $n^2=144$ 。因此唯一的正整数 $n$ 为 $12$ 。

The two component sums are $\sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2$ and $\sum_{k=1}^na_k=17.$ Therefore the triangle inequality for vectors gives $\begin{aligned}&\sum_{k=1}^n\sqrt{(2k-1)^2+a_k^2}\\&\quad\geq\sqrt{(n^2)^2+17^2}\\&\quad=\sqrt{n^4+289}.\end{aligned}$ Equality is attainable by taking $a_k$ proportional to $2k-1,$ so $S_n=\sqrt{n^4+289}.$

If this is the integer $m,$ then $(m-n^2)(m+n^2)=289=17^2.$ The factor pair $17,17$ gives $n=0,$ while the pair $1,289$ gives $m=145$ and $n^2=144.$ Thus the unique positive $n$ is $12.$

1991 AIME 第 15 题

答案：12

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 15 题