2026 AMC 8 Problema 25

Question

En un hexágono equiángulo, todos los ángulos interiores miden

120^\circ.

Abajo se muestra un ejemplo de tal hexágono con lados

2,

3,

1,

3,

2,

y

2

, inscrito en el triángulo equilátero

ABC.

Considera todos los hexágonos equiángulos con lados enteros positivos que se pueden inscribir en

\triangle ABC,

con los seis vértices sobre los lados del triángulo. ¿Cuál es el número total de tales hexágonos? Los hexágonos que difieren solo por una rotación o una reflexión se consideran iguales.

In an equiangular hexagon, all interior angles measure

120^\circ.

An example of such a hexagon with side lengths of

2,

3,

1,

3,

2,

and

2

is shown below, inscribed in equilateral triangle

ABC.

Consider all equiangular hexagons with positive integer side lengths that can be inscribed in

\triangle ABC,

with all six vertices on the sides of the triangle. What is the total number of such hexagons? Hexagons that differ only by a rotation or a reflection are considered the same.

4

5

6

7

8

Respuesta: E

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Sean

x,y,z

las longitudes pequeñas de las esquinas en

A,B,C

.

Let

x,y,z

be the small corner lengths at

A,B,C

Pista grande:

El lado del triángulo es

6

, así que

x+y

,

y+z

,

z+x

son todos menores que

6

.

The triangle side is

6

, so

x+y

,

y+z

, and

z+x

are all less than

6

Solución en video:

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Solución escrita:

El ejemplo muestra que cada lado de

\triangle ABC

tiene longitud

6

. Sean

x,y,z

las longitudes pequeñas recortadas en las esquinas

A,B,C

, respectivamente. Entonces los otros tres lados del hexágono son

6-x-y

,

6-y-z

y

6-z-x

. Los seis lados son enteros positivos exactamente cuando

x,y,z

son enteros positivos y la suma de cada par es menor que

6

. Salvo rotación y reflexión, esto significa contar las ternas no ordenadas

x\le y\le z

con

y+z\lt6

:

(1,1,1)

,

(1,1,2)

,

(1,1,3)

,

(1,1,4)

,

(1,2,2)

,

(1,2,3)

,

(2,2,2)

y

(2,2,3)

. Hay

8

tales hexágonos.

The example shows that each side of

\triangle ABC

has length

6

. Let

x,y,z

be the small corner lengths cut off at

A,B,C

, respectively. Then the other three side lengths of the hexagon are

6-x-y

,

6-y-z

, and

6-z-x

. All six side lengths are positive integers exactly when

x,y,z

are positive integers and each pair sum is less than

6

. Up to rotation and reflection, this means counting unordered triples

x\le y\le z

with

y+z\lt6

:

(1,1,1)

,

(1,1,2)

,

(1,1,3)

,

(1,1,4)

,

(1,2,2)

,

(1,2,3)

,

(2,2,2)

, and

(2,2,3)

. There are

8

such hexagons.

2026 AMC 8 Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

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