2023 AMC 8 Problema 25
Intenta el Problema 25 del 2023 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
25.
Quince enteros están ordenados en una recta numérica. Los enteros están igualmente espaciados y cumplen que
y
¿Cuál es la suma de los dígitos de ?
Fifteen integers are arranged in order on a number line. The integers are equally spaced and have the property that
and
What is the sum of the digits of
Respuesta: A
Pista pequeña:
Sea la diferencia común
Let be the common difference
Pista grande:
Usa los límites más amplios posibles para y para forzar
Use the widest possible bounds for and to force
Solución en video:
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Solución escrita:
Sea la diferencia común. Usando el mayor valor posible, , para y el menor valor posible, , para obtenemos Como todos los números son enteros, debe ser al menos
Usando el menor valor posible, , para y el mayor valor posible, , para obtenemos Como todos los números son enteros, es a lo sumo Por lo tanto,
Observa que Como es por lo menos debe ser al menos
Por otro lado, si fuera mayor que entonces sería mayor que lo cual no está permitido.
Ahora sabemos que y Esto nos dice que
Por lo tanto, la suma de los dígitos es
Por lo tanto, A es la respuesta correcta.
Let be the common difference. Using the largest possible value for and the smallest possible value for we have Since all the numbers are integers, must be at least
Using the smallest possible value for and the largest possible value for we have Since all the numbers are integers, is at most Therefore,
Note that Since is at least must be at least
On the other hand, if were greater than then would be greater than which is not allowed.
Now we know that and This tells us that
Therefore, sum of the digits is
Thus, A is the correct answer.
El Problema 25 en otros años
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