2022 AMC 8 Problema 25

Question

Un grillo salta al azar entre

4

hojas, en cada turno saltando a una de las otras

3

hojas con igual probabilidad. Después de

4

saltos, ¿cuál es la probabilidad de que el grillo haya regresado a la hoja donde empezó?

A cricket randomly hops between

4

leaves, on each turn hopping to one of the other

3

leaves with equal probability. After

4

hops, what is the probability that the cricket has returned to the leaf where it started?

\displaystyle \dfrac{2}{9}

\displaystyle \dfrac{19}{80}

\displaystyle \dfrac{20}{81}

\displaystyle \dfrac{1}{4}

\displaystyle \dfrac{7}{27}

Lleva la cuenta únicamente de si el grillo está en la hoja inicial

Track only whether the cricket is on the starting leaf

Si el grillo no está en el inicio, el siguiente salto regresa con probabilidad

\frac13

If the cricket is not at the start, the next hop returns with probability

\frac13

Sea

p_n

la probabilidad de que el grillo esté en su hoja inicial después de

n

saltos. Tenemos

p_0=1

.

Si el grillo está en la hoja inicial, el siguiente salto debe abandonarla. Si el grillo no está en la hoja inicial, exactamente uno de los

3

saltos posibles regresa al inicio. Por lo tanto

p_{n+1}=\frac{1-p_n}{3}.

Así

\begin{gathered} p_1=0,\quad p_2=\frac13,\quad p_3=\frac29,\quad \\ p_4=\frac{1-\frac29}{3}=\frac{7}{27}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

p_n

be the probability that the cricket is on its starting leaf after

n

hops. We have

p_0=1

.

If the cricket is on the starting leaf, the next hop must leave it. If the cricket is not on the starting leaf, exactly one of the

3

possible hops returns to the start. Therefore

p_{n+1}=\frac{1-p_n}{3}.

Thus

\begin{gathered} p_1=0,\quad p_2=\frac13,\quad p_3=\frac29,\quad \\ p_4=\frac{1-\frac29}{3}=\frac{7}{27}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is E.

El Problema 25 en otros años