2019 AMC 8 Problema 25

Question

Alice tiene

24

manzanas. ¿De cuántas maneras puede repartirlas entre Becky, Chris y ella misma, de modo que cada una de las tres personas tenga al menos dos manzanas?

Alice has

24

apples. In how many ways can she share them with Becky and Chris so that each of the three people has at least two apples?

105

114

190

210

380

Respuesta: C

Conceptos:estrellas y barras

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Primero dale

2

manzanas a cada persona

Give each person

2

apples first

Pista grande:

Distribuye las manzanas restantes con dos separadores

Distribute the remaining apples with two dividers

Solución en video:

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Solución escrita:

Asignemos a todos

2

manzanas. Esto nos deja con

24 - 3 \cdot 2 = 18

manzanas.

Luego queremos resolver

a + b + c = 18,

donde

a,

b,

y

c

son las cantidades adicionales de manzanas que reciben Alice, Becky y Chris.

Nota que todas estas son no negativas, ya que la única condición que necesitábamos ya está satisfecha.

Podemos usar el método de estrellas y barras para obtener el número de soluciones como

\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.

Así, la respuesta correcta es C.

Let us assign everybody

2

apples. This leaves us with

24 - 3 \cdot 2 = 18

apples.

Then, we want to solve

a + b + c = 18,

where

a,

b,

and

c

are the additional apples given to Alice, Becky, and Chris.

Note that these are all nonnegative, since we already satisfied the only condition we needed to.

We can use stars and bars to get the number of solutions as

\binom{18 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{20}{2} = 190.

Thus, the correct answer is C.