2017 AMC 8 Problema 25

Question

En la figura mostrada,

\overline{US}

y

\overline{UT}

son segmentos de recta cada uno de longitud

2,

y

m\angle TUS = 60^\circ.

Los arcos

\overset{\large\frown}{TR}

y

\overset{\large\frown}{SR}

son cada uno un sexto de un círculo de radio

2.

¿Cuál es el área de la región mostrada?

In the figure shown,

\overline{US}

and

\overline{UT}

are line segments each of length

2,

and

m\angle TUS = 60^\circ.

Arcs

\overset{\large\frown}{TR}

and

\overset{\large\frown}{SR}

are each one-sixth of a circle with radius

2.

What is the area of the region shown?

3\sqrt{3}-\pi

4\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}

2\sqrt{3}

4\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{3}

4+\dfrac{4\pi}{3}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1750

Pista pequeña:

Extiende los dos lados rectos para formar un triángulo equilátero.

Extend the two straight sides to form an equilateral triangle.

Pista grande:

Resta dos sectores de

60^\circ

de radio

2

de ese triángulo equilátero.

Subtract two

60^\circ

sectors of radius

2

from that equilateral triangle.

Solución en video:

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Solución escrita:

Podemos extender

\overline{SU}

y

\overline{TU}

para formar la siguiente figura.

El área de esta región es el área de un triángulo equilátero de lado

4

menos el área de dos sextos de un círculo de radio

2.

El área de un triángulo equilátero de lado

s

es

\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.

Esto significa que el área total es

\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can extend

\overline{SU}

and

\overline{TU}

to form the following picture.

The area of this region is the area of an equilateral triangle with side length of

4

minus the area of two-sixths of a circle with radius

2.

The area for an equilateral triangle with side length

s

is

\dfrac{s^2\sqrt{3}}{4}.

This means that the total area is

\dfrac{4^2 \sqrt{3}}{4} - \dfrac{1}{3} \pi \cdot 2^2 = 4 \sqrt{3} - \dfrac{4}{3} \pi.

Thus, B is the correct answer.