2005 AMC 8 Problema 9

Question

En el cuadrilátero

ABCD,

los lados

\overline{AB}

y

\overline{BC}

tienen ambos longitud

10,

los lados

\overline{CD}

y

\overline{DA}

tienen ambos longitud

17,

y la medida del ángulo

ADC

es

60^\circ.

¿Cuál es la longitud de la diagonal

\overline{AC}

?

In quadrilateral

ABCD,

sides

\overline{AB}

and

\overline{BC}

both have length

10,

sides

\overline{CD}

and

\overline{DA}

both have length

17,

and the measure of angle

ADC

is

60^\circ.

What is the length of diagonal

\overline{AC}?

13.5

14

15.5

17

18.5

Respuesta: D

Conceptos:triángulo isósceles triángulo equilátero suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Fíjate solo en

\triangle ADC

Look only at

\triangle ADC

.

Pista grande:

Es isósceles y tiene un ángulo de

60^\circ

It is isosceles and has a

60^\circ

angle.

Solución:

Nota que

\triangle ADC

es isósceles. Esto significa que

\angle DAC = \angle DCA.

Obtenemos que

\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}

Esto muestra que

\triangle ADC

es equilátero. Esto nos da que

AC = CD = 17.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that

\triangle ADC

is isosceles. This means that

\angle DAC = \angle DCA.

We get that

\begin{gather*} \angle DAC + \angle DCA \\ {}+ \angle ADC = 180^{\circ} \\ \angle DAC + \angle DCA = 120^{\circ} \\ \angle DAC = \angle DCA = 60^{\circ}. \end{gather*}

This shows that

\triangle ADC

is equilateral. This gives us that

AC = CD = 17.

Thus, D is the correct answer.