2003 AMC 8 Problema 25

Question

En la figura, el área del cuadrado

WXYZ

es

25 \text{ cm}^2.

Los cuatro cuadrados más pequeños tienen lados de

1

cm de largo, ya sea paralelos a los lados del cuadrado grande o coincidiendo con ellos. En

\triangle ABC,

AB = AC,

y cuando

\triangle ABC

se dobla sobre el lado

\overline{BC},

el punto

A

coincide con

O,

el centro del cuadrado

WXYZ.

¿Cuál es el área de

\triangle ABC,

en centímetros cuadrados?

In the figure, the area of square

WXYZ

is

25 \text{ cm}^2.

The four smaller squares have sides

1

cm long, either parallel to or coinciding with the sides of the large square. In

\triangle ABC,

AB = AC,

and when

\triangle ABC

is folded over side

\overline{BC},

point

A

coincides with

O,

the center of square

WXYZ.

What is the area of

\triangle ABC,

in square centimeters?

\dfrac{15}{4}

\dfrac{21}{4}

\dfrac{27}{4}

\dfrac{21}{2}

\dfrac{27}{2}

Respuesta: C

Conceptos:plegado de papel área del triángulo

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Sea

M

el punto medio de

\overline{BC}

Let

M

be the midpoint of

\overline{BC}.

Pista grande:

Al doblar, la distancia de

A

a

\overline{BC}

es igual a la distancia de

O

a

\overline{BC}

Folding makes the distance from

A

to

\overline{BC}

equal the distance from

O

to

\overline{BC}.

Solución:

El lado de

WXYZ

mide

5

cm, ya que

\sqrt{25} = 5.

También sabemos que la distancia de

\overline{WZ}

a

\overline{BC}

es

2,

ya que es la suma de los lados de

2

cuadrados unitarios.

Finalmente, la distancia de

A

a

\overline{BC}

es la misma que la distancia de

\overline{BC}

a

O,

que es

2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ cm}.

Ahora podemos hallar

BC,

que es

WZ - 2 = 5 - 2 = 3 \text{ cm}.

Por lo tanto, el área de

\triangle ABC

es

\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{4} \text{ cm}^2.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The side length of

WXYZ

is

5

cm, since

\sqrt{25} = 5.

We also know that the distance from

\overline{WZ}

to

\overline{BC}

is

2

since it is the sum of the side lengths of

2

unit squares.

Finally, the distance from

A

to

\overline{BC}

is the same as the distance from

\overline{BC}

to

O,

which is

2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2} \text{ cm}.

Now, we can find

BC,