1993 AMC 8 Problema 25

Question

Un tablero de ajedrez consiste en cuadrados de una pulgada. Una tarjeta cuadrada, de

1.5

pulgadas por lado, se coloca sobre el tablero de modo que cubre parte o toda el área de cada uno de

n

cuadrados. El máximo valor posible de

n

es

A checkerboard consists of one-inch squares. A square card,

1.5

inches on a side, is placed on the board so that it covers part or all of the area of each of

n

squares. The maximum possible value of

n

is

4

o

5

4

or

5

6

o

7

6

or

7

8

o

9

8

or

9

10

o

11

10

or

11

12

o más

12

or more

Respuesta: E

Conceptos:optimización Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Una tarjeta inclinada puede cruzar más líneas de la cuadrícula que una tarjeta alineada con los cuadrados; la diagonal de la tarjeta tiene longitud

\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1

A tilted card can cross more grid lines than a card lined up with the squares; the card’s diagonal has length

\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1

Pista grande:

Intenta inclinar la tarjeta

45^\circ

con su centro en una esquina de la cuadrícula y cuenta en cuántos cuadrados entra cada esquina de la tarjeta

Try tilting the card

45^\circ

with its center on a grid corner, and count how many squares each corner of the card pokes into

Solución:

Inclina la tarjeta

45^\circ

y céntrala en una esquina donde se encuentran cuatro cuadrados de la cuadrícula, como se muestra. Como la diagonal de la tarjeta,

\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,

es más larga que

2,

cada una de las cuatro esquinas de la tarjeta pasa una línea de la cuadrícula hacia el siguiente cuadrado.

La tarjeta cubre el bloque central de

2 \times 2

de

4

cuadrados y se extiende a

2

cuadrados más en cada uno de sus cuatro lados, dando

4 + 4 \times 2 = 12

cuadrados.

Este es también el máximo posible. La tarjeta mide solo

1.5

pulgadas de ancho, así que su ancho y alto totales son cada uno a lo sumo

2.1

pulgadas; por lo tanto se encuentra dentro de un bloque de

4 \times 4

de

16

cuadrados. Sus cuatro esquinas puntiagudas son las únicas partes que alcanzan el borde de ese bloque, así que nunca puede alcanzar los cuatro cuadrados de las esquinas del bloque, dejando a lo sumo

12.

Como

12

es alcanzable, el máximo es

12,

que cae en el rango “

12

o más”.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Tilt the card

45^\circ

and center it on a corner where four grid squares meet, as shown. Because the card’s diagonal,

\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} = \sqrt{4.5} \approx 2.1,

is longer than

2,

each of the four corners of the card reaches past a grid line into the next square.

The card covers the central

2 \times 2

block of

4

squares and pokes into

2

more squares on each of its four sides, giving

4 + 4 \times 2 = 12

squares.

This is also the most possible. The card is only

1.5

inches wide, so its overall width and height are each at most

2.1

inches; it therefore lies within a

4 \times 4

block of

16

squares. Its four pointed corners are the only parts that reach the edge of that block, so it can never reach the four corner squares of the block, leaving at most

12.

Since

12

is achievable, the maximum is

12,

which falls in the range “

12

or more.”

Thus, the correct answer is E .