1991 AMC 8 Problema 25

Question

Un triángulo equilátero está pintado de negro al principio. Cada vez que se modifica el triángulo, el cuarto central de cada triángulo negro se vuelve blanco. Después de cinco modificaciones, ¿qué fracción del área original del triángulo permanece negra?

An equilateral triangle is originally painted black. Each time the triangle is changed, the middle fourth of each black triangle turns white. After five changes, what fractional part of the original area of the black triangle remains black?

\dfrac{1}{1024}

\dfrac{15}{64}

\dfrac{243}{1024}

\dfrac14

\dfrac{81}{256}

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Después de una modificación, el cuarto central se vuelve blanco, así que queda

\dfrac34

del área negra

After one change the middle fourth turns white, so

\dfrac34

of the black area remains

Pista grande:

Cada modificación multiplica el área negra por

\dfrac34,

así que después de cinco modificaciones se multiplica por

\left(\dfrac34\right)^5

Each change multiplies the black area by

\dfrac34,

so after five changes multiply by

\left(\dfrac34\right)^5

Solución:

Cada modificación deja negra

\dfrac34

del área negra actual. Después de cinco modificaciones, la fracción negra es

\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each change leaves

\dfrac34

of the current black area black. After five changes the black fraction is

\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.

Thus, the correct answer is C .