1991 AMC 8 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

40:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777? \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777? \end{aligned}$

$222{,}222{,}222{,}222$

$222{,}222{,}222{,}223$

$233{,}333{,}333{,}333$

$322{,}222{,}222{,}223$

$333{,}333{,}333{,}333$

Respuesta: B

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Piensa en cuánto debes sumar a $777{,}777{,}777{,}777$ para llegar a $1{,}000{,}000{,}000{,}000$

Think of the amount you must add to $777{,}777{,}777{,}777$ to reach $1{,}000{,}000{,}000{,}000$

Pista grande:

Trabajando de derecha a izquierda: las cifras de las unidades deben sumar $10$ con un acarreo, y luego cada columna suma $10$ con ese acarreo

Work from the right: the units digits must add to $10$ with a carry, and every other column then adds to $10$ with that carry

Solución:

Al alinear la resta se obtiene $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777 \\ &= 222{,}222{,}222{,}223. \end{aligned}$

De forma equivalente, para subir de $777{,}777{,}777{,}777$ hasta $1{,}000{,}000{,}000{,}000$ se suma $3$ en las unidades y $2$ en cada uno de los otros once lugares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Lining up the subtraction gives $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777 \\ &= 222{,}222{,}222{,}223. \end{aligned}$

Equivalently, to climb from $777{,}777{,}777{,}777$ up to $1{,}000{,}000{,}000{,}000$ you add $3$ in the units place and $2$ in each of the other eleven places.

Thus, the correct answer is B .

2.

¿Cuál es el valor de $\frac{16+8}{4-2}?$

What is the value of $\frac{16+8}{4-2}?$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Respuesta: C

Conceptos:orden de las operaciones operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

La barra de fracción agrupa todo el numerador sobre todo el denominador

The fraction bar groups the whole numerator over the whole denominator

Pista grande:

Simplifica $16+8$ y $4-2$ por separado antes de dividir

Simplify $16+8$ and $4-2$ separately before dividing

Solución:

$\frac{16+8}{4-2} = \frac{24}{2} = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\frac{16+8}{4-2} = \frac{24}{2} = 12.$

Thus, the correct answer is C .

3.

Doscientos mil por doscientos mil es igual a

Two hundred thousand times two hundred thousand equals

cuatrocientos mil

four hundred thousand

cuatro millones

four million

cuarenta mil

forty thousand

cuatrocientos millones

four hundred million

cuarenta mil millones

forty billion

Respuesta: E

Conceptos:valor posicional exponente

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Escribe doscientos mil como $200{,}000$

Write two hundred thousand as $200{,}000$

Pista grande:

Multiplica las cifras iniciales y luego cuenta los ceros: cada factor tiene cinco ceros

Multiply the leading digits, then count the zeros: each factor has five zeros

Solución:

$200{,}000 \times 200{,}000$ $= 4 \times 10^{10}$ $= 40{,}000{,}000{,}000,$ que es cuarenta mil millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$200{,}000 \times 200{,}000$ $= 4 \times 10^{10}$ $= 40{,}000{,}000{,}000,$ which is forty billion.

Thus, the correct answer is E .

4.

Si $991 + 993 + 995$ $+ 997 + 999$ $= 5000 - N,$ entonces $N =$

If $991 + 993 + 995$ $+ 997 + 999$ $= 5000 - N,$ then $N =$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Cada uno de los cinco números es solo un poco menor que $1000$

Each of the five numbers is just a little less than $1000$

Pista grande:

Escribe cada uno como $1000 - k;$ la suma se convierte en $5000 - (9+7+5+3+1)$

Write each as $1000 - k;$ the sum becomes $5000 - (9+7+5+3+1)$

Solución:

Como $\begin{aligned} &991+993+995 \\ &\quad {}+997+999 \\ &= (1000-9)+(1000-7) \\ &\quad {}+(1000-5) \\ &\quad {}+(1000-3)+(1000-1) \\ &= 5000 - (9+7+5+3+1) \\ &= 5000 - 25, \end{aligned}$ se obtiene $N = 25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\begin{aligned} &991+993+995 \\ &\quad {}+997+999 \\ &= (1000-9)+(1000-7) \\ &\quad {}+(1000-5) \\ &\quad {}+(1000-3)+(1000-1) \\ &= 5000 - (9+7+5+3+1) \\ &= 5000 - 25, \end{aligned}$ we get $N = 25.$

Thus, the correct answer is E .

5.

Un «dominó» está formado por dos cuadrados pequeños:

. ¿Cuál de los «tableros de ajedrez» ilustrados a continuación NO se puede cubrir exacta y completamente con un número entero de dominós que no se solapen?

A “domino” is made up of two small squares:

. Which of the “checkerboards” illustrated below CANNOT be covered exactly and completely by a whole number of non-overlapping dominoes?

$3 \times 4$

$3 \times 5$

$4 \times 4$

$4 \times 5$

$6 \times 3$

Respuesta: B

Conceptos:teselado paridad

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Cada dominó cubre exactamente dos cuadrados pequeños, así que fíjate en cuántos cuadrados pequeños tiene cada tablero.

Each domino covers exactly two small squares, so focus on how many small squares each board has.

Pista grande:

Un tablero solo se puede cubrir por completo si su número total de cuadrados es par; halla el número de cuadrados de cada tablero multiplicando sus dos dimensiones.

A board can be fully covered only if its total number of squares is even; find the number of squares in each board by multiplying its two dimensions.

Solución:

Cada dominó cubre exactamente $2$ cuadrados, así que cualquier tablero que se cubra por completo con dominós que no se solapan debe tener un número par de cuadrados pequeños.

Contando cuadrados: $3 \times 4 = 12,$ $3 \times 5 = 15,$ $4 \times 4 = 16,$ $4 \times 5 = 20,$ y $6 \times 3 = 18.$ Solo $3 \times 5 = 15$ es impar, así que ese tablero no se puede cubrir. (Cada uno de los tableros pares tiene un lado de longitud par y se cubre fácilmente con dominós.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Every domino covers exactly $2$ squares, so any board that is completely covered by non-overlapping dominoes must contain an even number of small squares.

Counting squares: $3 \times 4 = 12,$ $3 \times 5 = 15,$ $4 \times 4 = 16,$ $4 \times 5 = 20,$ and $6 \times 3 = 18.$ Only $3 \times 5 = 15$ is odd, so that board cannot be covered. (Each of the even boards has a side of even length and is easily tiled with dominoes.)

Thus, the correct answer is B .

6.

¿Qué número del arreglo de abajo es a la vez el mayor de su columna y el menor de su fila? (Las columnas van de arriba abajo y las filas de izquierda a derecha.)

$\begin{array}{ccccc} 10 & 6 & 4 & 3 & 2 \\ 11 & 7 & 14 & 10 & 8 \\ 8 & 3 & 4 & 5 & 9 \\ 13 & 4 & 15 & 12 & 1 \\ 8 & 2 & 5 & 9 & 3 \end{array}$

Which number in the array below is both the largest in its column and the smallest in its row? (Columns go up and down, rows go right and left.)

$\begin{array}{ccccc} 10 & 6 & 4 & 3 & 2 \\ 11 & 7 & 14 & 10 & 8 \\ 8 & 3 & 4 & 5 & 9 \\ 13 & 4 & 15 & 12 & 1 \\ 8 & 2 & 5 & 9 & 3 \end{array}$

$1$

$6$

$7$

$12$

$15$

Respuesta: C

Conceptos:enumeración sistemática argumento extremal

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Primero halla el número mayor de cada una de las cinco columnas

First find the largest number in each of the five columns

Pista grande:

Después comprueba cuál de esos máximos de columna es también el número menor de su propia fila

Then check which of those column-maxima is also the smallest number in its own row

Solución:

El mayor de cada columna es: $13$ (columna $1$ ), $7$ (columna $2$ ), $15$ (columna $3$ ), $12$ (columna $4$ ) y $9$ (columna $5$ ).

De estos, solo $7$ es el número menor de su propia fila, ya que la fila $2$ es $11,$ $7,$ $14,$ $10,$ $8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The largest entry in each column is $13$ (column $1$ ), $7$ (column $2$ ), $15$ (column $3$ ), $12$ (column $4$ ), and $9$ (column $5$ ).

Of these, only $7$ is the smallest number in its own row (row $2$ is $11,$ $7,$ $14,$ $10,$ $8$ ).

Thus, the correct answer is C .

7.

El valor de la expresión $\tiny\frac{(487{,}000)(12{,}027{,}300) + (9{,}621{,}001)(487{,}000)}{(19{,}367)(0.05)}$ es más cercano a

The value of $\tiny\frac{(487{,}000)(12{,}027{,}300) + (9{,}621{,}001)(487{,}000)}{(19{,}367)(0.05)}$ is closest to

$10{,}000{,}000$

$100{,}000{,}000$

$1{,}000{,}000{,}000$

$10{,}000{,}000{,}000$

$100{,}000{,}000{,}000$

Respuesta: D

Conceptos:estimación propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

El numerador tiene un factor común de $487{,}000$

The numerator shares a common factor of $487{,}000$

Pista grande:

Redondea cada número a una sola cifra inicial antes de dividir, por ejemplo $487{,}000 \approx 500{,}000$ y $(19{,}367)(0.05) \approx 1000$

Round each number to a single leading digit before dividing, for example $487{,}000 \approx 500{,}000$ and $(19{,}367)(0.05) \approx 1000$

Solución:

Factoriza el numerador: $487{,}000$ $\cdot\, (12{,}027{,}300 + 9{,}621{,}001).$

Redondeando a las cifras iniciales, esto es aproximadamente $500{,}000$ $\times (10{,}000{,}000 + 10{,}000{,}000)$ $= 500{,}000 \times 2$ $\times 10^{7}.$ El denominador es aproximadamente $20{,}000 \times 0.05 = 1000.$

Así que el valor total es aproximadamente $\dfrac{500{,}000 \times 2 \times 10^{7}}{1000}$ $= 10^{10}$ $= 10{,}000{,}000{,}000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor the numerator: $487{,}000$ $\cdot\, (12{,}027{,}300 + 9{,}621{,}001).$

Rounding to leading digits, this is about $500{,}000$ $\times (10{,}000{,}000 + 10{,}000{,}000)$ $= 500{,}000 \times 2$ $\times 10^{7}.$ The denominator is about $20{,}000 \times 0.05 = 1000.$

So the value is roughly $\dfrac{500{,}000 \times 2 \times 10^{7}}{1000}$ $= 10^{10}$ $= 10{,}000{,}000{,}000.$

Thus, the correct answer is D .

8.

¿Cuál es el mayor cociente que se puede formar con dos números elegidos del conjunto $\{-24, -3, -2, 1, 2, 8\}$ ?

What is the largest quotient that can be formed using two numbers chosen from the set $\{-24, -3, -2, 1, 2, 8\}?$

$-24$

$-3$

$8$

$12$

$24$

Respuesta: D

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Un cociente es mayor cuando es positivo y de gran tamaño

A quotient is largest when it is positive and large in size

Pista grande:

Un negativo dividido entre un negativo es positivo; prueba el negativo de mayor magnitud entre el negativo de menor magnitud

A negative divided by a negative is positive; try the largest-magnitude negative over the smallest-magnitude negative

Solución:

Para obtener un cociente grande debe ser positivo, así que usa dos números positivos o dos números negativos.

El mejor par positivo es $\dfrac{8}{1} = 8.$ El mejor par negativo es $\dfrac{-24}{-2} = 12.$ El mayor es $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a large quotient it should be positive, so use two positive numbers or two negative numbers.

Best positive pair: $\dfrac{8}{1} = 8.$ Best negative pair: $\dfrac{-24}{-2} = 12.$ The larger is $12.$

Thus, the correct answer is D .

9.

¿Cuántos números enteros del $1$ al $46$ son divisibles por $3$ , por $5$ o por ambos?

How many whole numbers from $1$ through $46$ are divisible by either $3$ or $5$ or both?

$18$

$21$

$24$

$25$

$27$

Respuesta: B

Conceptos:inclusión-exclusión múltiplo

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Cuenta por separado los múltiplos de $3$ y los múltiplos de $5$

Count the multiples of $3$ and the multiples of $5$ separately

Pista grande:

Los números divisibles por $3$ y por $5$ a la vez son múltiplos de $15$ y se cuentan dos veces, así que réstalos una vez

Numbers divisible by both $3$ and $5$ are multiples of $15$ and get counted twice, so subtract them once

Solución:

Hay $15$ múltiplos de $3$ y $9$ múltiplos de $5$ hasta $46$ . Los $3$ múltiplos de $15$ (a saber, $15,$ $30,$ $45$ ) se contaron dos veces.

Por inclusión-exclusión, la cuenta es $15 + 9 - 3 = 21.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $15$ multiples of $3$ and $9$ multiples of $5$ up to $46.$ The $3$ multiples of $15$ (namely $15,$ $30,$ $45$ ) were counted twice.

By inclusion-exclusion, the count is $15 + 9 - 3 = 21.$

Thus, the correct answer is B .

10.

¿Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región encerrada por el paralelogramo $ABCD$ ?

The area in square units of the region enclosed by parallelogram $ABCD$ is

$6$

$8$

$12$

$15$

$18$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica paralelogramo área

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Toma $\overline{BC}$ como base; es horizontal desde $B(0,2)$ hasta $C(4,2)$

Take $\overline{BC}$ as the base; it is horizontal from $B(0,2)$ to $C(4,2)$

Pista grande:

El área es base por altura, donde la altura es la distancia vertical entre los dos lados horizontales

The area is base times height, where the height is the vertical distance between the two horizontal sides

Solución:

El lado $BC$ va desde $(0,2)$ hasta $(4,2),$ así que la base es $4.$ El lado opuesto $AD$ está sobre el eje $x$ , así que la altura es $2.$

El área es $4 \times 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Side $BC$ runs from $(0,2)$ to $(4,2),$ so the base is $4.$ The opposite side $AD$ lies on the $x$ -axis, so the height is $2.$

The area is $4 \times 2 = 8.$

Thus, the correct answer is B .

11.

Se pueden elegir varios conjuntos de tres números diferentes cuya suma sea $15$ de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ ¿Cuántos de estos conjuntos contienen un $5$ ?

There are several sets of three different numbers whose sum is $15$ which can be chosen from $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ How many of these sets contain a $5?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:conteo de pares enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Si $5$ es uno de los tres números, entonces los otros dos deben sumar $10$

If $5$ is one of the three numbers, the other two must add to $10$

Pista grande:

Enumera los pares de números diferentes de $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ que suman $10$

List the pairs of different numbers from $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ that sum to $10$

Solución:

Elegido el $5$ , los otros dos números diferentes deben sumar $10.$ Esos pares son $1+9,$ $2+8,$ $3+7,$ $4+6,$ lo que da $4$ conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $5$ chosen, the other two different numbers must sum to $10.$ The pairs are $1+9,$ $2+8,$ $3+7,$ $4+6,$ giving $4$ sets.

Thus, the correct answer is B .

12.

Si $\begin{aligned} &\frac{2+3+4}{3} \\ &= \frac{1990+1991+1992}{N}, \end{aligned}$ entonces $N =$

If $\begin{aligned} &\frac{2+3+4}{3} \\ &= \frac{1990+1991+1992}{N}, \end{aligned}$ then $N =$

$3$

$6$

$1990$

$1991$

$1992$

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Simplifica primero el lado izquierdo

Simplify the left side first

Pista grande:

La suma de tres enteros consecutivos dividida entre el del medio es igual a $3$

The sum of three consecutive integers divided by the middle one equals $3$

Solución:

El lado izquierdo es $\dfrac{9}{3} = 3.$ El lado derecho es $\dfrac{5973}{N},$ y al igualarlo a $3$ se obtiene $N = 1991.$

De forma equivalente, $(k-1) + k + (k+1) = 3k,$ así que dividir entre $3$ deja el término del medio. Aquí el término del medio es $1991.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The left side is $\dfrac{9}{3} = 3.$ The right side is $\dfrac{5973}{N},$ and setting it equal to $3$ gives $N = 1991.$

Equivalently, $(k-1) + k + (k+1) = 3k,$ so dividing by $3$ leaves the middle term. Here the middle term is $1991.$

Thus, the correct answer is D .

13.

¿Cuántos ceros hay al final del producto $\begin{aligned} &25 \times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 8 \times 8 \times 8? \end{aligned}$

How many zeros are at the end of the product $\begin{aligned} &25 \times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 8 \times 8 \times 8? \end{aligned}$

$3$

$6$

$9$

$10$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:ceros finales factorización en primos

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Un cero final proviene de un factor $10 = 2 \times 5$

A trailing zero comes from a factor of $10 = 2 \times 5$

Pista grande:

Cuenta el total de factores de $2$ y de $5;$ el número de ceros finales es la menor de las dos cuentas

Count the total factors of $2$ and of $5;$ the number of trailing zeros is the smaller count

Solución:

Como $25 = 5^2,$ los siete $25$ dan $5^{14}.$ Como $8 = 2^3,$ los tres $8$ dan $2^9.$

El número de ceros finales es $\min(14, 9) = 9.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $25 = 5^2,$ the seven $25$ ’s give $5^{14}.$ Since $8 = 2^3,$ the three $8$ ’s give $2^9.$

The number of trailing zeros is $\min(14, 9) = 9.$

Thus, the correct answer is C .

14.

Varios estudiantes compiten en una serie de tres carreras. Un estudiante gana $5$ puntos por ganar una carrera, $3$ puntos por quedar segundo y $1$ punto por quedar tercero. No hay empates. ¿Cuál es el menor número de puntos que un estudiante debe obtener en las tres carreras para tener garantizado más puntos que cualquier otro estudiante?

Several students are competing in a series of three races. A student earns $5$ points for winning a race, $3$ points for finishing second, and $1$ point for finishing third. There are no ties. What is the smallest number of points that a student must earn in the three races to be guaranteed of earning more points than any other student?

$9$

$10$

$11$

$13$

$15$

Respuesta: D

Conceptos:argumento extremal

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Para garantizar la ventaja, considera el peor caso, en el que otro estudiante lo hace lo mejor posible

To be guaranteed the lead, plan for the worst case where another student does as well as possible

Pista grande:

Revisa en orden creciente los totales posibles de las tres carreras; para cada uno, comprueba si los puestos restantes permiten que otro estudiante lo iguale o lo supere

Check the attainable three-race totals in increasing order; for each one, see whether the remaining places allow a rival to tie or exceed it

Solución:

Un total de $11$ (por ejemplo $5+5+1$ ) no garantiza el primer lugar, ya que otro estudiante también podría llegar a $11.$

Pero si un estudiante obtiene $5+5+3 = 13,$ los lugares restantes dan a cualquier otro estudiante como máximo $3+3+5 = 11.$ Así que $13$ puntos garantizan la ventaja.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A total of $11$ (for example $5+5+1$ ) does not guarantee first place, since another student could also reach $11.$

But if one student scores $5+5+3 = 13,$ the remaining places give every other student at most $3+3+5 = 11.$ So $13$ points guarantees the lead.

Thus, the correct answer is D .

15.

Las seis caras de un prisma rectangular eran rectángulos. Se recortó del prisma rectangular un cubo de un pie, como se muestra. ¿En cuántos pies cuadrados es mayor o menor la superficie del nuevo sólido que la del original?

All six sides of a rectangular solid were rectangles. A one-foot cube was cut out of the rectangular solid as shown. The total number of square feet in the surface of the new solid is how many more or less than that of the original solid?

$2$ menos

$2$ less

$1$ menos

$1$ less

lo mismo

the same

$1$ más

$1$ more

$2$ más

$2$ more

Respuesta: C

Conceptos:área de superficie Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Al cortar el cubo se quitan algunas caras que estaban en la superficie, pero se descubren otras nuevas; compara las dos cantidades

Cutting the cube removes some faces that were on the surface but uncovers new ones; compare the two amounts

Pista grande:

Las caras superior, frontal y trasera del cubo estaban en la superficie ( $3$ pies cuadrados quitados); el fondo de la muesca y sus dos paredes laterales se vuelven superficie nueva ( $3$ pies cuadrados añadidos)

The cube’s top, front, and back faces were on the surface ( $3$ square feet removed); the notch’s floor and its two side walls become new surface ( $3$ square feet added)

Solución:

El cubo retirado tenía tres caras en la superficie del sólido (superior, frontal y trasera), así que se quitan $3$ pies cuadrados de superficie.

Al recortarlo se exponen tres caras nuevas (el fondo de la muesca y sus dos paredes laterales), lo que añade $3$ pies cuadrados. El área de la superficie no cambia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The removed cube had three faces on the surface of the solid (top, front, and back), so $3$ square feet of surface are removed.

Cutting it out exposes three new faces (the floor of the notch and its two side walls), adding $3$ square feet. The surface area is unchanged.

Thus, the correct answer is C .

16.

Los $16$ cuadrados de una hoja de papel están numerados como se muestra en el diagrama. Mientras está sobre una mesa, el papel se dobla por la mitad cuatro veces en la siguiente secuencia:

$(1)$ doblar la mitad superior sobre la mitad inferior;

$(2)$ doblar la mitad inferior sobre la mitad superior;

$(3)$ doblar la mitad derecha sobre la mitad izquierda;

$(4)$ doblar la mitad izquierda sobre la mitad derecha.

¿Qué cuadrado numerado queda encima después del paso $4$ ?

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}$

The $16$ squares on a piece of paper are numbered as shown in the diagram. While lying on a table, the paper is folded in half four times in the following sequence:

$(1)$ fold the top half over the bottom half;

$(2)$ fold the bottom half over the top half;

$(3)$ fold the right half over the left half;

$(4)$ fold the left half over the right half.

Which numbered square is on top after step $4?$

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}$

$1$

$9$

$10$

$14$

$16$

Respuesta: B

Conceptos:plegado de papel simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Después de cada doblez, sigue qué cuadrados quedan en la parte inferior (o superior) de la pila

After each fold, track which squares end up on the bottom (or top) of the stack

Pista grande:

Los dobleces $1$ y $2$ dejan las filas del medio; los dobleces $3$ y $4$ dejan las columnas del medio, y el último doblez de izquierda sobre derecha lleva el cuadrado $9$ hasta arriba

Folds $1$ and $2$ leave the middle rows; folds $3$ and $4$ leave the middle columns, and the final left-over-right fold flips square $9$ to the top

Solución:

El doblez $1$ (superior sobre inferior) deja los cuadrados $9\text{–}16$ abajo. El doblez $2$ (inferior sobre superior) deja $9\text{–}12$ abajo. El doblez $3$ (derecha sobre izquierda) deja $9$ y $10$ abajo.

El doblez $4$ (izquierda sobre derecha) pone $10$ abajo y lleva $9$ hasta arriba.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Fold $1$ (top over bottom) leaves squares $9\text{–}16$ on the bottom. Fold $2$ (bottom over top) leaves $9\text{–}12$ on the bottom. Fold $3$ (right over left) leaves $9$ and $10$ on the bottom.

Fold $4$ (left over right) puts $10$ on the bottom and brings $9$ to the top.

Thus, the correct answer is B .

17.

Un auditorio con $20$ filas de asientos tiene $10$ asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene un asiento más que la anterior. Si a los estudiantes que hacen un examen se les permite sentarse en cualquier fila, pero no junto a otro estudiante de esa fila, entonces el número máximo de estudiantes que se pueden sentar para un examen es

An auditorium with $20$ rows of seats has $10$ seats in the first row. Each successive row has one more seat than the previous row. If students taking an exam are permitted to sit in any row, but not next to another student in that row, then the maximum number of students that can be seated for an exam is

$150$

$180$

$200$

$400$

$460$

Respuesta: C

Conceptos:arreglos con restricciones sucesión aritmética funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

En una fila de $n$ asientos, el mayor número de estudiantes sin dos adyacentes es $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

In a row of $n$ seats, the most students with no two adjacent is $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Pista grande:

La fila $k$ tiene $9+k$ asientos; suma $\left\lceil \frac{9+k}{2} \right\rceil$ a lo largo de las $20$ filas

Row $k$ has $9+k$ seats; add $\left\lceil \frac{9+k}{2} \right\rceil$ over the $20$ rows

Solución:

La fila $k$ tiene $9+k$ asientos, así que caben $\left\lceil \frac{9+k}{2} \right\rceil$ estudiantes. Para las filas $1$ a $20$ (con $10$ a $29$ asientos), los máximos son $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ $7,$ $8,$ $8,$ $\ldots,$ $14,$ $14,$ $15.$

Estos suman $200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Row $k$ has $9+k$ seats, so it holds $\left\lceil \frac{9+k}{2} \right\rceil$ students. For rows $1$ through $20$ (seats $10$ through $29$ ) the maxima are $5,$ $6,$ $6,$ $7,$ $7,$ $8,$ $8,$ $\ldots,$ $14,$ $14,$ $15.$

These sum to $200.$

Thus, the correct answer is C .

18.

El eje vertical indica el número de empleados, pero la escala se omitió por accidente en esta gráfica. ¿Qué porcentaje de los empleados de la compañía Gauss ha trabajado allí durante $5$ años o más?

The vertical axis indicates the number of employees, but the scale was accidentally omitted from this graph. What percent of the employees at the Gauss Company have worked there for $5$ years or more?

$9\%$

$23\dfrac13\%$

$30\%$

$42\dfrac67\%$

$50\%$

Respuesta: C

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Como la escala vertical es desconocida, trabaja con el número de X en lugar de con cualquier valor

Since the vertical scale is unknown, work with the number of X’s rather than any value

Pista grande:

Divide las X de los años $5$ a $10$ entre el número total de X

Divide the X’s over years $5$ through $10$ by the total number of X’s

Solución:

Sin importar la escala que falta, cada X representa el mismo número de empleados. Hay $9$ X sobre los años $5$ a $10,$ y $30$ X en total.

Así que la fracción es $\dfrac{9}{30} = 30\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

No matter the missing scale, each X represents the same number of employees. There are $9$ X’s over years $5$ through $10,$ and $30$ X’s in all.

So the fraction is $\dfrac{9}{30} = 30\%.$

Thus, the correct answer is C .

19.

El promedio (media aritmética) de $10$ números enteros positivos diferentes es $10.$ El mayor valor posible de cualquiera de estos números es

The average (arithmetic mean) of $10$ different positive whole numbers is $10.$ The largest possible value of any of these numbers is

$10$

$50$

$55$

$90$

$91$

Respuesta: C

Conceptos:media argumento extremal

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

La suma de los diez números debe ser $10 \times 10 = 100$

The ten numbers must sum to $10 \times 10 = 100$

Pista grande:

Para hacer un número lo más grande posible, haz los otros nueve lo más pequeños posible: $1, 2, \ldots, 9$

To make one number as large as possible, make the other nine as small as possible: $1, 2, \ldots, 9$

Solución:

Los diez números suman $100.$ Para maximizar uno de ellos, los otros nueve (todos enteros positivos diferentes) deben ser lo más pequeños posible: $1 + 2 + \cdots + 9 = 45.$

El número mayor es entonces $100 - 45 = 55.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ten numbers sum to $100.$ To maximize one of them, the other nine (all different positive whole numbers) should be as small as possible: $1 + 2 + \cdots + 9 = 45.$

The largest number is then $100 - 45 = 55.$

Thus, the correct answer is C .

20.

En el problema de suma que se muestra, cada dígito se reemplazó por una letra. Si letras diferentes representan dígitos diferentes, entonces $C =$

$\begin{array}{cccc} & A & B & C \\ & & A & B \\ + & & & A \\ \hline & 3 & 0 & 0 \end{array}$

In the addition problem shown, each digit has been replaced by a letter. If different letters represent different digits, then $C =$

$\begin{array}{cccc} & A & B & C \\ & & A & B \\ + & & & A \\ \hline & 3 & 0 & 0 \end{array}$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Respuesta: A

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe la suma en términos de $A, B, C$

Write the sum in terms of $A, B, C$

Pista grande:

Suma los tres números para obtener $100A + 10B + C$ $+ 10A + B + A$ $= 111A + 11B + C$ $= 300$

$100A + 10B + C$ $+ 10A + B + A$ $= 111A + 11B + C$ $= 300$

Solución:

Los tres números suman $111A + 11B + C = 300.$ Como $A = 1$ es demasiado pequeño y $A \ge 3$ es demasiado grande, $A = 2.$

Entonces $11B + C = 78,$ lo que obliga a $B = 7$ y $C = 1.$ Así que $C = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three numbers add to $111A + 11B + C = 300.$ Since $A = 1$ is too small and $A \ge 3$ is too large, $A = 2.$

Then $11B + C = 78,$ which forces $B = 7$ and $C = 1.$ So $C = 1.$

Thus, the correct answer is A .

21.

Por cada aumento de $3^\circ$ en la temperatura, el volumen de cierto gas se expande $4$ centímetros cúbicos. Si el volumen del gas es $24$ centímetros cúbicos cuando la temperatura es $32^\circ,$ ¿cuál era el volumen del gas en centímetros cúbicos cuando la temperatura era $20^\circ$ ?

For every $3^\circ$ rise in temperature, the volume of a certain gas expands by $4$ cubic centimeters. If the volume of the gas is $24$ cubic centimeters when the temperature is $32^\circ,$ what was the volume of the gas in cubic centimeters when the temperature was $20^\circ?$

$8$

$12$

$15$

$16$

$40$

Respuesta: A

Conceptos:tasa trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

La temperatura bajó de $32^\circ$ a $20^\circ,$ un cambio de $12^\circ$

The temperature dropped from $32^\circ$ to $20^\circ,$ a change of $12^\circ$

Pista grande:

Cada descenso de $3^\circ$ reduce el volumen en $4$ centímetros cúbicos

Each $3^\circ$ drop shrinks the volume by $4$ cubic centimeters

Solución:

De $32^\circ$ a $20^\circ$ hay un descenso de $12^\circ$ , que son $4$ pasos de $3^\circ.$

El volumen disminuye en $4 \times 4 = 16$ centímetros cúbicos, de $24$ hasta $24 - 16 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $32^\circ$ to $20^\circ$ is a $12^\circ$ decrease, which is $4$ steps of $3^\circ.$

The volume decreases by $4 \times 4 = 16$ cubic centimeters, from $24$ down to $24 - 16 = 8.$

Thus, the correct answer is A .

22.

Cada ruleta está dividida en $3$ partes iguales. Se multiplican los resultados obtenidos al girar las dos ruletas. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto sea un número par?

Each spinner is divided into $3$ equal parts. The results obtained from spinning the two spinners are multiplied. What is the probability that this product is an even number?

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac79$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad complementaria paridad

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

El producto es impar solo cuando ambos números son impares; en cualquier otro caso es par

A product is even unless both spun numbers are odd

Pista grande:

Halla primero la probabilidad de un producto impar, es decir, impar por impar, y luego réstala de $1$

Find the probability of an odd product (odd times odd), then subtract from $1$

Solución:

El producto es impar si y solo si ambos números son impares. La primera ruleta cae en un impar ( $1$ o $3$ ) con probabilidad $\dfrac23,$ y la segunda cae en el impar $5$ con probabilidad $\dfrac13.$

Así que el producto es impar con probabilidad $\dfrac23 \times \dfrac13 = \dfrac29,$ y par con probabilidad $1 - \dfrac29 = \dfrac79.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product is odd only when both numbers are odd. The first spinner is odd ( $1$ or $3$ ) with probability $\dfrac23,$ and the second is odd ( $5$ ) with probability $\dfrac13.$

So the product is odd with probability $\dfrac23 \times \dfrac13 = \dfrac29,$ and even with probability $1 - \dfrac29 = \dfrac79.$

Thus, the correct answer is D .

23.

La banda de la Escuela Secundaria Pitágoras tiene $100$ mujeres y $80$ hombres. La orquesta de la Escuela Secundaria Pitágoras tiene $80$ mujeres y $100$ hombres. Hay $60$ mujeres que pertenecen tanto a la banda como a la orquesta. En total, $230$ estudiantes están en la banda, en la orquesta o en ambas. El número de hombres de la banda que NO están en la orquesta es

The Pythagoras High School band has $100$ female and $80$ male members. The Pythagoras High School orchestra has $80$ female and $100$ male members. There are $60$ females who are members in both band and orchestra. Altogether, there are $230$ students who are in either band or orchestra or both. The number of males in the band who are NOT in the orchestra is

$10$

$20$

$30$

$50$

$70$

Respuesta: A

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Primero halla cuántas mujeres están en al menos un grupo, usando $100 + 80 - 60$

First find how many females are in at least one group, using $100 + 80 - 60$

Pista grande:

Resta las mujeres del total de $230$ para obtener los hombres que están en al menos un grupo; luego usa inclusión-exclusión para hallar cuántos hombres están en ambos grupos

Subtract the females from the $230$ total to get the males in at least one group, then use inclusion–exclusion to find how many males are in both groups

Solución:

Mujeres en la banda o la orquesta: $100 + 80 - 60 = 120.$ Así que los hombres en al menos un grupo: $230 - 120 = 110.$

Con $80$ hombres en la banda y $100$ en la orquesta, los hombres en ambas son $80 + 100 - 110 = 70.$ Por lo tanto, los hombres en la banda pero no en la orquesta: $80 - 70 = 10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Females in band or orchestra: $100 + 80 - 60 = 120.$ So males in at least one group: $230 - 120 = 110.$

With $80$ males in band and $100$ in orchestra, the males in both are $80 + 100 - 110 = 70.$ Hence males in band but not orchestra: $80 - 70 = 10.$

Thus, the correct answer is A .

24.

Un cubo de arista $3$ cm se corta en $N$ cubos más pequeños, no todos del mismo tamaño. Si la arista de cada uno de los cubos más pequeños es un número entero de centímetros, entonces $N =$

A cube of edge $3$ cm is cut into $N$ smaller cubes, not all the same size. If the edge of each of the smaller cubes is a whole number of centimeters, then $N =$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Respuesta: E

Conceptos:geometría del cubo volumen

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

La arista de los cubos más pequeños debe ser un número entero, así que solo puede ser arista $1$ o arista $2$

The smaller cubes must have whole-number edges, so each is edge $1$ or edge $2$

Pista grande:

Solo cabe un cubo de arista $2$ ; el resto son cubos unitarios que llenan el volumen restante $27 - 8$

Only one edge- $2$ cube fits; the rest are unit cubes filling the remaining volume $27 - 8$

Solución:

El cubo de $3 \times 3 \times 3$ tiene volumen $27.$ Como los cubos pequeños tienen aristas enteras y son menores, sus aristas miden $1$ o $2$ . No pueden caber dos cubos disjuntos de arista $2$ dentro del cubo original, pues separarlos exigiría una extensión total de al menos $4$ en alguna dirección. Por tanto, cabe como máximo un cubo de arista $2$ .

El volumen restante $27 - 8 = 19$ se llena con $19$ cubos unitarios. El total es $1 + 19 = 20$ cubos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The $3 \times 3 \times 3$ cube has volume $27.$ Since the cubes are smaller and have whole-number edge lengths, their edges are $1$ or $2$ . Two edge- $2$ cubes cannot be disjoint inside the original cube: separating them would require a total span of at least $4$ in some direction. Thus at most one edge- $2$ cube fits.

The remaining $27 - 8 = 19$ of volume is filled by $19$ unit cubes. That is $1 + 19 = 20$ cubes.

Thus, the correct answer is E .

25.

Un triángulo equilátero está pintado de negro al principio. Cada vez que se modifica el triángulo, el cuarto central de cada triángulo negro se vuelve blanco. Después de cinco modificaciones, ¿qué fracción del área original del triángulo permanece negra?

An equilateral triangle is originally painted black. Each time the triangle is changed, the middle fourth of each black triangle turns white. After five changes, what fractional part of the original area of the black triangle remains black?

$\dfrac{1}{1024}$

$\dfrac{15}{64}$

$\dfrac{243}{1024}$

$\dfrac14$

$\dfrac{81}{256}$

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Después de una modificación, el cuarto central se vuelve blanco, así que queda $\dfrac34$ del área negra

After one change the middle fourth turns white, so $\dfrac34$ of the black area remains

Pista grande:

Cada modificación multiplica el área negra por $\dfrac34,$ así que después de cinco modificaciones se multiplica por $\left(\dfrac34\right)^5$

Each change multiplies the black area by $\dfrac34,$ so after five changes multiply by $\left(\dfrac34\right)^5$

Solución:

Cada modificación deja negra $\dfrac34$ del área negra actual. Después de cinco modificaciones, la fracción negra es $\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each change leaves $\dfrac34$ of the current black area black. After five changes the black fraction is $\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.$

Thus, the correct answer is C .

Problemas del 1991 AMC 8

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 820

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1090

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande: