Soluciones del 1991 AMC 8 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777 \end{aligned}$

What is the value of $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777? \end{aligned}$

$222{,}222{,}222{,}222$

$222{,}222{,}222{,}223$

$233{,}333{,}333{,}333$

$322{,}222{,}222{,}223$

$333{,}333{,}333{,}333$

Conceptos:valor posicional

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Al alinear la resta se obtiene $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777 \\ &= 222{,}222{,}222{,}223. \end{aligned}$

De forma equivalente, para subir de $777{,}777{,}777{,}777$ hasta $1{,}000{,}000{,}000{,}000$ se suma $3$ en las unidades y $2$ en cada uno de los otros once lugares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Lining up the subtraction gives $\begin{aligned} &1{,}000{,}000{,}000{,}000 \\ &\quad {}- 777{,}777{,}777{,}777 \\ &= 222{,}222{,}222{,}223. \end{aligned}$

Equivalently, to climb from $777{,}777{,}777{,}777$ up to $1{,}000{,}000{,}000{,}000$ you add $3$ in the units place and $2$ in each of the other eleven places.

Thus, the correct answer is B .

2.

¿Cuál es el valor de $\frac{16+8}{4-2}$ ?

What is the value of $\frac{16+8}{4-2}?$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Conceptos:orden de las operaciones operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 450

Solución:

$\frac{16+8}{4-2} = \frac{24}{2} = 12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\frac{16+8}{4-2} = \frac{24}{2} = 12.$

Thus, the correct answer is C .

3.

Doscientos mil por doscientos mil es igual a

Two hundred thousand times two hundred thousand equals

cuatrocientos mil

four hundred thousand

cuatro millones

four million

cuarenta mil

forty thousand

cuatrocientos millones

four hundred million

cuarenta mil millones

forty billion

Conceptos:valor posicional exponente

Nivel de dificultad: 450

Solución:

$200{,}000 \times 200{,}000$ $= 4 \times 10^{10}$ $= 40{,}000{,}000{,}000$ , que es cuarenta mil millones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

$200{,}000 \times 200{,}000$ $= 4 \times 10^{10}$ $= 40{,}000{,}000{,}000,$ which is forty billion.

Thus, the correct answer is E .

4.

Si $991 + 993 + 995$ $+ 997 + 999$ $= 5000 - N$ , entonces $N =$

If $991 + 993 + 995$ $+ 997 + 999$ $= 5000 - N,$ then $N =$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Conceptos:sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Como $\begin{aligned} &991+993+995 \\ &\quad {}+997+999 \\ &= (1000-9)+(1000-7) \\ &\quad {}+(1000-5) \\ &\quad {}+(1000-3)+(1000-1) \\ &= 5000 - (9+7+5+3+1) \\ &= 5000 - 25, \end{aligned}$ se obtiene $N = 25$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $\begin{aligned} &991+993+995 \\ &\quad {}+997+999 \\ &= (1000-9)+(1000-7) \\ &\quad {}+(1000-5) \\ &\quad {}+(1000-3)+(1000-1) \\ &= 5000 - (9+7+5+3+1) \\ &= 5000 - 25, \end{aligned}$ we get $N = 25.$

Thus, the correct answer is E .

5.

Un “dominó” está formado por dos cuadrados pequeños:

. ¿Cuál de los “tableros de ajedrez” que se ilustran a continuación NO se puede cubrir exacta y completamente con un número entero de dominós que no se solapen?

A "domino" is made up of two small squares:

. Which of the "checkerboards" illustrated below CANNOT be covered exactly and completely by a whole number of non-overlapping dominoes?

$3 \times 4$

$3 \times 5$

$4 \times 4$

$4 \times 5$

$6 \times 3$

Conceptos:teselado paridad

Nivel de dificultad: 800

Solución:

Cada dominó cubre exactamente $2$ cuadrados, así que cualquier tablero que se cubra por completo con dominós que no se solapan debe tener un número par de cuadrados pequeños.

Contando cuadrados: $3 \times 4 = 12$ , $3 \times 5 = 15$ , $4 \times 4 = 16$ , $4 \times 5 = 20$ y $6 \times 3 = 18$ . Solo $3 \times 5 = 15$ es impar, así que ese tablero no se puede cubrir. (Cada uno de los tableros pares tiene un lado de longitud par y se cubre fácilmente con dominós.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Every domino covers exactly $2$ squares, so any board that is completely covered by non-overlapping dominoes must contain an even number of small squares.

Counting squares: $3 \times 4 = 12,$ $3 \times 5 = 15,$ $4 \times 4 = 16,$ $4 \times 5 = 20,$ and $6 \times 3 = 18.$ Only $3 \times 5 = 15$ is odd, so that board cannot be covered. (Each of the even boards has a side of even length and is easily tiled with dominoes.)

Thus, the correct answer is B .

6.

¿Qué número del arreglo de abajo es a la vez el mayor de su columna y el menor de su fila? (Las columnas van de arriba abajo y las filas de izquierda a derecha.)

$\begin{array}{ccccc} 10 & 6 & 4 & 3 & 2 \\ 11 & 7 & 14 & 10 & 8 \\ 8 & 3 & 4 & 5 & 9 \\ 13 & 4 & 15 & 12 & 1 \\ 8 & 2 & 5 & 9 & 3 \end{array}$

Which number in the array below is both the largest in its column and the smallest in its row? (Columns go up and down, rows go right and left.)

$\begin{array}{ccccc} 10 & 6 & 4 & 3 & 2 \\ 11 & 7 & 14 & 10 & 8 \\ 8 & 3 & 4 & 5 & 9 \\ 13 & 4 & 15 & 12 & 1 \\ 8 & 2 & 5 & 9 & 3 \end{array}$

$1$

$6$

$7$

$12$

$15$

Conceptos:enumeración sistemática argumento extremal

Nivel de dificultad: 800

Solución:

El mayor de cada columna es: $13$ (columna $1$ ), $7$ (columna $2$ ), $15$ (columna $3$ ), $12$ (columna $4$ ) y $9$ (columna $5$ ).

De estos, solo $7$ es el número menor de su propia fila, ya que la fila $2$ es $11, 7, 14, 10, 8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The largest entry in each column is $13$ (column $1$ ), $7$ (column $2$ ), $15$ (column $3$ ), $12$ (column $4$ ), and $9$ (column $5$ ).

Of these, only $7$ is the smallest number in its own row (row $2$ is $11, 7, 14, 10, 8$ ).

Thus, the correct answer is C .

7.

El valor de la expresión $\tiny\frac{(487{,}000)(12{,}027{,}300) + (9{,}621{,}001)(487{,}000)}{(19{,}367)(.05)}$ es más cercano a

The value of $\tiny\frac{(487{,}000)(12{,}027{,}300) + (9{,}621{,}001)(487{,}000)}{(19{,}367)(.05)}$ is closest to

$10{,}000{,}000$

$100{,}000{,}000$

$1{,}000{,}000{,}000$

$10{,}000{,}000{,}000$

$100{,}000{,}000{,}000$

Conceptos:estimación propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Factoriza el numerador: $487{,}000$ $\cdot\, (12{,}027{,}300 + 9{,}621{,}001)$ .

Redondeando a las cifras iniciales, esto es aproximadamente $500{,}000$ $\times (10{,}000{,}000 + 10{,}000{,}000)$ $= 500{,}000 \times 2$ $\times 10^{7}$ . El denominador es aproximadamente $20{,}000 \times .05 = 1000$ .

Así que el valor total es aproximadamente $\dfrac{500{,}000 \times 2 \times 10^{7}}{1000}$ $= 10^{10}$ $= 10{,}000{,}000{,}000$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Factor the numerator: $487{,}000$ $\cdot\, (12{,}027{,}300 + 9{,}621{,}001).$

Rounding to leading digits, this is about $500{,}000$ $\times (10{,}000{,}000 + 10{,}000{,}000)$ $= 500{,}000 \times 2$ $\times 10^{7}.$ The denominator is about $20{,}000 \times .05 = 1000.$

So the value is roughly $\dfrac{500{,}000 \times 2 \times 10^{7}}{1000}$ $= 10^{10}$ $= 10{,}000{,}000{,}000.$

Thus, the correct answer is D .

8.

¿Cuál es el mayor cociente que se puede formar con dos números elegidos del conjunto $\{-24, -3, -2, 1, 2, 8\}$ ?

What is the largest quotient that can be formed using two numbers chosen from the set $\{-24, -3, -2, 1, 2, 8\}?$

$-24$

$-3$

$8$

$12$

$24$

Conceptos:optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Para obtener un cociente grande debe ser positivo, así que usa dos números positivos o dos números negativos.

El mejor par positivo es $\dfrac{8}{1} = 8$ . El mejor par negativo es $\dfrac{-24}{-2} = 12$ . El mayor es $12$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a large quotient it should be positive, so use two positive numbers or two negative numbers.

Best positive pair: $\dfrac{8}{1} = 8.$ Best negative pair: $\dfrac{-24}{-2} = 12.$ The larger is $12.$

Thus, the correct answer is D .

9.

¿Cuántos números enteros del $1$ al $46$ son divisibles por $3$ , por $5$ o por ambos?

How many whole numbers from $1$ through $46$ are divisible by either $3$ or $5$ or both?

$18$

$21$

$24$

$25$

$27$

Conceptos:inclusión-exclusión múltiplo

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Hasta $46$ hay $15$ múltiplos de $3$ y $9$ múltiplos de $5$ . Los $3$ múltiplos de $15$ (a saber, $15$ , $30$ , $45$ ) se contaron dos veces.

Por inclusión-exclusión, la cuenta es $15 + 9 - 3 = 21$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $15$ multiples of $3$ and $9$ multiples of $5$ up to $46.$ The $3$ multiples of $15$ (namely $15,$ $30,$ $45$ ) were counted twice.

By inclusion-exclusion, the count is $15 + 9 - 3 = 21.$

Thus, the correct answer is B .

10.

¿Cuál es el área, en unidades cuadradas, de la región encerrada por el paralelogramo $ABCD$ ?

The area in square units of the region enclosed by parallelogram $ABCD$ is

$6$

$8$

$12$

$15$

$18$

Conceptos:geometría analítica paralelogramo área

Nivel de dificultad: 860

Solución:

El lado $BC$ va desde $(0,2)$ hasta $(4,2)$ , así que la base es $4$ . El lado opuesto $AD$ está sobre el eje $x$ , así que la altura es $2$ .

El área es $4 \times 2 = 8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Side $BC$ runs from $(0,2)$ to $(4,2),$ so the base is $4.$ The opposite side $AD$ lies on the $x$ -axis, so the height is $2.$

The area is $4 \times 2 = 8.$

Thus, the correct answer is B .

11.

Se pueden elegir varios conjuntos de tres números diferentes de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ cuya suma sea $15$ . ¿Cuántos de estos conjuntos contienen un $5$ ?

There are several sets of three different numbers whose sum is $15$ which can be chosen from $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}.$ How many of these sets contain a $5?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:conteo de pares enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Elegido el $5$ , los otros dos números diferentes deben sumar $10$ . Esos pares son $1+9,\ 2+8,\ 3+7,\ 4+6$ , lo que da $4$ conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

With $5$ chosen, the other two different numbers must sum to $10.$ The pairs are $1+9,\ 2+8,\ 3+7,\ 4+6,$ giving $4$ sets.

Thus, the correct answer is B .

12.

Si $\begin{aligned} &\frac{2+3+4}{3} \\ &= \frac{1990+1991+1992}{N}, \end{aligned}$ entonces $N =$

If $\begin{aligned} &\frac{2+3+4}{3} \\ &= \frac{1990+1991+1992}{N}, \end{aligned}$ then $N =$

$3$

$6$

$1990$

$1991$

$1992$

Conceptos:sucesión aritmética media

Nivel de dificultad: 820

Solución:

El lado izquierdo es $\dfrac{9}{3} = 3$ . El lado derecho es $\dfrac{5973}{N}$ , y al igualarlo a $3$ se obtiene $N = 1991$ .

De forma equivalente, $(k-1) + k + (k+1) = 3k$ , así que dividir entre $3$ deja el término del medio. Aquí el término del medio es $1991$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The left side is $\dfrac{9}{3} = 3.$ The right side is $\dfrac{5973}{N},$ and setting it equal to $3$ gives $N = 1991.$

Equivalently, $(k-1) + k + (k+1) = 3k,$ so dividing by $3$ leaves the middle term. Here the middle term is $1991.$

Thus, the correct answer is D .

13.

¿Cuántos ceros hay al final del siguiente producto? $\begin{aligned} &25 \times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 8 \times 8 \times 8 \end{aligned}$

How many zeros are at the end of the product $\begin{aligned} &25 \times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 25 \times 25 \times 25 \\ &\quad {}\times 8 \times 8 \times 8? \end{aligned}$

$3$

$6$

$9$

$10$

$12$

Conceptos:ceros finales factorización en primos

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

Como $25 = 5^2$ , los siete $25$ dan $5^{14}$ . Como $8 = 2^3$ , los tres $8$ dan $2^9$ .

El número de ceros finales es $\min(14, 9) = 9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $25 = 5^2,$ the seven $25$ 's give $5^{14}.$ Since $8 = 2^3,$ the three $8$ 's give $2^9.$

The number of trailing zeros is $\min(14, 9) = 9.$

Thus, the correct answer is C .

14.

Varios estudiantes compiten en una serie de tres carreras. Un estudiante gana $5$ puntos por ganar una carrera, $3$ puntos por quedar segundo y $1$ punto por quedar tercero. No hay empates. ¿Cuál es el menor número de puntos que un estudiante debe obtener en las tres carreras para tener garantizado más puntos que cualquier otro estudiante?

Several students are competing in a series of three races. A student earns $5$ points for winning a race, $3$ points for finishing second, and $1$ point for finishing third. There are no ties. What is the smallest number of points that a student must earn in the three races to be guaranteed of earning more points than any other student?

$9$

$10$

$11$

$13$

$15$

Conceptos:argumento extremal

Nivel de dificultad: 1090

Solución:

Un total de $11$ (por ejemplo $5+5+1$ ) no garantiza el primer lugar, ya que otro estudiante también podría llegar a $11$ .

Pero si un estudiante obtiene $5+5+3 = 13$ , los lugares restantes dan a cualquier otro estudiante como máximo $3+3+5 = 11$ . Así que $13$ puntos garantizan la ventaja.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

A total of $11$ (for example $5+5+1$ ) does not guarantee first place, since another student could also reach $11.$

But if one student scores $5+5+3 = 13,$ the remaining places give every other student at most $3+3+5 = 11.$ So $13$ points guarantees the lead.

Thus, the correct answer is D .

15.

Las seis caras de un sólido rectangular son rectángulos, y el sólido mide $1$ pie por $3$ pies por $9$ pies. Se corta un cubo de un pie de la parte superior del sólido para formar una muesca; la muesca abarca toda la profundidad de un pie (de la cara frontal a la cara trasera) y se ubica en algún punto a lo largo de los nueve pies de longitud. ¿Cuántos pies cuadrados más o menos tiene la superficie del nuevo sólido en comparación con la del sólido original?

All six faces of a rectangular solid are rectangles, and the solid measures $1$ foot by $3$ feet by $9$ feet. A one-foot cube is cut out of the top of the solid to form a notch; the notch spans the full one-foot depth (from the front face to the back face) and lies partway along the nine-foot length. The total number of square feet in the surface of the new solid is how many more or less than that of the original solid?

$2$ menos

$2$ less

$1$ menos

$1$ less

lo mismo

the same

$1$ más

$1$ more

$2$ más

$2$ more

Conceptos:área de superficie Geometría 3D

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El cubo retirado tenía tres caras en la superficie del sólido (superior, frontal y trasera), así que se quitan $3$ pies cuadrados de superficie.

Al recortarlo se exponen tres caras nuevas (el fondo de la muesca y sus dos paredes laterales), lo que añade $3$ pies cuadrados. El área de la superficie no cambia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The removed cube had three faces on the surface of the solid (top, front, and back), so $3$ square feet of surface are removed.

Cutting it out exposes three new faces (the floor of the notch and its two side walls), adding $3$ square feet. The surface area is unchanged.

Thus, the correct answer is C .

16.

Los $16$ cuadrados de una hoja de papel están numerados como se muestra en el diagrama. Mientras está sobre una mesa, el papel se dobla por la mitad cuatro veces en la siguiente secuencia:

(1) doblar la mitad superior sobre la mitad inferior; (2) doblar la mitad inferior sobre la mitad superior; (3) doblar la mitad derecha sobre la mitad izquierda; (4) doblar la mitad izquierda sobre la mitad derecha.

¿Qué cuadrado numerado queda encima después del paso $4$ ?

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}$

The $16$ squares on a piece of paper are numbered as shown in the diagram. While lying on a table, the paper is folded in half four times in the following sequence:

(1) fold the top half over the bottom half; (2) fold the bottom half over the top half; (3) fold the right half over the left half; (4) fold the left half over the right half.

Which numbered square is on top after step $4?$

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline 9 & 10 & 11 & 12 \\ \hline 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline \end{array}$

$1$

$9$

$10$

$14$

$16$

Conceptos:plegado de papel simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1180

Solución:

El doblez $1$ (superior sobre inferior) deja los cuadrados $9\text{–}16$ abajo. El doblez $2$ (inferior sobre superior) deja $9\text{–}12$ abajo. El doblez $3$ (derecha sobre izquierda) deja $9$ y $10$ abajo.

El doblez $4$ (izquierda sobre derecha) pone $10$ abajo y lleva $9$ hasta arriba.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Fold $1$ (top over bottom) leaves squares $9\text{–}16$ on the bottom. Fold $2$ (bottom over top) leaves $9\text{–}12$ on the bottom. Fold $3$ (right over left) leaves $9$ and $10$ on the bottom.

Fold $4$ (left over right) puts $10$ on the bottom and brings $9$ to the top.

Thus, the correct answer is B .

17.

Un auditorio con $20$ filas de asientos tiene $10$ asientos en la primera fila. Cada fila sucesiva tiene un asiento más que la anterior. Si a los estudiantes que hacen un examen se les permite sentarse en cualquier fila, pero no junto a otro estudiante de esa fila, entonces el número máximo de estudiantes que se pueden sentar para un examen es

An auditorium with $20$ rows of seats has $10$ seats in the first row. Each successive row has one more seat than the previous row. If students taking an exam are permitted to sit in any row, but not next to another student in that row, then the maximum number of students that can be seated for an exam is

$150$

$180$

$200$

$400$

$460$

Conceptos:arreglos con restricciones sucesión aritmética funciones piso y techo

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

La fila $k$ tiene $9+k$ asientos, así que caben $\left\lceil (9+k)/2 \right\rceil$ estudiantes. Para las filas $1$ a $20$ (con $10$ a $29$ asientos), los máximos son $5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, \ldots, 14, 14, 15$ .

Estos suman $200$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Row $k$ has $9+k$ seats, so it holds $\left\lceil (9+k)/2 \right\rceil$ students. For rows $1$ through $20$ (seats $10$ through $29$ ) the maxima are $5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, \ldots, 14, 14, 15.$

These sum to $200.$

Thus, the correct answer is C .

18.

El eje vertical indica el número de empleados, pero la escala se omitió por accidente en esta gráfica. ¿Qué porcentaje de los empleados de la compañía Gauss ha trabajado allí durante $5$ años o más?

The vertical axis indicates the number of employees, but the scale was accidentally omitted from this graph. What percent of the employees at the Gauss Company have worked there for $5$ years or more?

$9\%$

$23\dfrac13\%$

$30\%$

$42\dfrac67\%$

$50\%$

Conceptos:interpretación de datos y gráficas porcentaje

Nivel de dificultad: 890

Solución:

Sin importar la escala que falta, cada X representa el mismo número de empleados. Hay $9$ X sobre los años $5$ a $10$ , y $30$ X en total.

Así que la fracción es $\dfrac{9}{30} = 30\%$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

No matter the missing scale, each X represents the same number of employees. There are $9$ X's over years $5$ through $10,$ and $30$ X's in all.

So the fraction is $\dfrac{9}{30} = 30\%.$

Thus, the correct answer is C .

19.

El promedio (media aritmética) de $10$ números enteros positivos diferentes es $10$ . El mayor valor posible de cualquiera de estos números es

The average (arithmetic mean) of $10$ different positive whole numbers is $10.$ The largest possible value of any of these numbers is

$10$

$50$

$55$

$90$

$91$

Conceptos:media argumento extremal

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

Los diez números suman $100$ . Para maximizar uno de ellos, los otros nueve (todos enteros positivos diferentes) deben ser lo más pequeños posible: $1 + 2 + \cdots + 9 = 45$ .

El número mayor es entonces $100 - 45 = 55$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ten numbers sum to $100.$ To maximize one of them, the other nine (all different positive whole numbers) should be as small as possible: $1 + 2 + \cdots + 9 = 45.$

The largest number is then $100 - 45 = 55.$

Thus, the correct answer is C .

20.

En el problema de suma que se muestra, cada dígito se reemplazó por una letra. Si letras diferentes representan dígitos diferentes, entonces $C =$

$\begin{array}{cccc} & A & B & C \\ & & A & B \\ + & & & A \\ \hline & 3 & 0 & 0 \end{array}$

In the addition problem shown, each digit has been replaced by a letter. If different letters represent different digits, then $C =$

$\begin{array}{cccc} & A & B & C \\ & & A & B \\ + & & & A \\ \hline & 3 & 0 & 0 \end{array}$

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

Conceptos:criptoaritmética valor posicional

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Los tres números suman $111A + 11B + C = 300$ . Como $A = 1$ es demasiado pequeño y $A \ge 3$ es demasiado grande, $A = 2$ .

Entonces $11B + C = 78$ , lo que obliga a $B = 7$ y $C = 1$ . Así que $C = 1$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three numbers add to $111A + 11B + C = 300.$ Since $A = 1$ is too small and $A \ge 3$ is too large, $A = 2.$

Then $11B + C = 78,$ which forces $B = 7$ and $C = 1.$ So $C = 1.$

Thus, the correct answer is A .

21.

Por cada aumento de $3^\circ$ en la temperatura, el volumen de cierto gas se expande $4$ centímetros cúbicos. Si el volumen del gas es $24$ centímetros cúbicos cuando la temperatura es $32^\circ$ , ¿cuál era el volumen del gas en centímetros cúbicos cuando la temperatura era $20^\circ$ ?

For every $3^\circ$ rise in temperature, the volume of a certain gas expands by $4$ cubic centimeters. If the volume of the gas is $24$ cubic centimeters when the temperature is $32^\circ,$ what was the volume of the gas in cubic centimeters when the temperature was $20^\circ?$

$8$

$12$

$15$

$16$

$40$

Conceptos:tasa trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 950

Solución:

De $32^\circ$ a $20^\circ$ hay un descenso de $12^\circ$ , que son $4$ pasos de $3^\circ$ .

El volumen disminuye en $4 \times 4 = 16$ centímetros cúbicos, de $24$ hasta $24 - 16 = 8$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From $32^\circ$ to $20^\circ$ is a $12^\circ$ decrease, which is $4$ steps of $3^\circ.$

The volume decreases by $4 \times 4 = 16$ cubic centimeters, from $24$ down to $24 - 16 = 8.$

Thus, the correct answer is A .

22.

Una ruleta está dividida en tres partes iguales rotuladas $1$ , $2$ y $3$ . Una segunda ruleta está dividida en tres partes iguales rotuladas $4$ , $5$ y $6$ . Cada ruleta se gira una vez y los dos números resultantes se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad de que este producto sea un número par?

One spinner is divided into three equal parts labeled $1,$ $2,$ and $3.$ A second spinner is divided into three equal parts labeled $4,$ $5,$ and $6.$ Each spinner is spun once and the two resulting numbers are multiplied. What is the probability that this product is an even number?

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$\dfrac79$

$1$

Conceptos:probabilidad complementaria paridad

Nivel de dificultad: 1000

Solución:

El producto es impar si y solo si ambos números son impares. La primera ruleta cae en un impar ( $1$ o $3$ ) con probabilidad $\dfrac23$ , y la segunda cae en el impar $5$ con probabilidad $\dfrac13$ .

Así que el producto es impar con probabilidad $\dfrac23 \times \dfrac13 = \dfrac29$ , y par con probabilidad $1 - \dfrac29 = \dfrac79$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The product is odd only when both numbers are odd. The first spinner is odd ( $1$ or $3$ ) with probability $\dfrac23,$ and the second is odd ( $5$ ) with probability $\dfrac13.$

So the product is odd with probability $\dfrac23 \times \dfrac13 = \dfrac29,$ and even with probability $1 - \dfrac29 = \dfrac79.$

Thus, the correct answer is D .

23.

La banda de la Escuela Secundaria Pythagoras tiene $100$ integrantes mujeres y $80$ hombres. La orquesta de la Escuela Secundaria Pythagoras tiene $80$ integrantes mujeres y $100$ hombres. Hay $60$ mujeres que son integrantes de la banda y de la orquesta a la vez. En total, hay $230$ estudiantes que están en la banda, en la orquesta o en ambas. El número de hombres de la banda que NO están en la orquesta es

The Pythagoras High School band has $100$ female and $80$ male members. The Pythagoras High School orchestra has $80$ female and $100$ male members. There are $60$ females who are members in both band and orchestra. Altogether, there are $230$ students who are in either band or orchestra or both. The number of males in the band who are NOT in the orchestra is

$10$

$20$

$30$

$50$

$70$

Conceptos:inclusión-exclusión Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Mujeres en la banda o la orquesta: $100 + 80 - 60 = 120$ . Así que los hombres en al menos un grupo: $230 - 120 = 110$ .

Con $80$ hombres en la banda y $100$ en la orquesta, los hombres en ambas son $80 + 100 - 110 = 70$ . Por lo tanto, los hombres en la banda pero no en la orquesta: $80 - 70 = 10$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Females in band or orchestra: $100 + 80 - 60 = 120.$ So males in at least one group: $230 - 120 = 110.$

With $80$ males in band and $100$ in orchestra, the males in both are $80 + 100 - 110 = 70.$ Hence males in band but not orchestra: $80 - 70 = 10.$

Thus, the correct answer is A .

24.

Un cubo de arista $3$ cm se corta en $N$ cubos más pequeños, no todos del mismo tamaño. Si la arista de cada uno de los cubos más pequeños es un número entero de centímetros, entonces $N =$

A cube of edge $3$ cm is cut into $N$ smaller cubes, not all the same size. If the edge of each of the smaller cubes is a whole number of centimeters, then $N =$

$4$

$8$

$12$

$16$

$20$

Conceptos:geometría del cubo volumen

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

El cubo de $3 \times 3 \times 3$ tiene volumen $27$ . Como los cubos no son todos del mismo tamaño y la arista es un número entero, cabe a lo sumo un cubo de arista $2$ , cuyo volumen es $8$ .

El volumen restante $27 - 8 = 19$ se llena con $19$ cubos unitarios. El total es $1 + 19 = 20$ cubos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The $3 \times 3 \times 3$ cube has volume $27.$ Since the cubes are not all the same size, at most one edge- $2$ cube (volume $8$ ) fits.

The remaining $27 - 8 = 19$ of volume is filled by $19$ unit cubes. That is $1 + 19 = 20$ cubes.

Thus, the correct answer is E .

25.

Un triángulo equilátero está pintado de negro al principio. Cada vez que se modifica el triángulo, el cuarto central de cada triángulo negro se vuelve blanco. Después de cinco modificaciones, ¿qué parte fraccionaria del área original del triángulo negro sigue siendo negra?

An equilateral triangle is originally painted black. Each time the triangle is changed, the middle fourth of each black triangle turns white. After five changes, what fractional part of the original area of the black triangle remains black?

$\dfrac{1}{1024}$

$\dfrac{15}{64}$

$\dfrac{243}{1024}$

$\dfrac14$

$\dfrac{81}{256}$

Conceptos:sucesión geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Cada modificación deja negra $\dfrac34$ del área negra actual. Después de cinco modificaciones, la fracción negra es $\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each change leaves $\dfrac34$ of the current black area black. After five changes the black fraction is $\left(\dfrac34\right)^5 = \dfrac{243}{1024}.$

Thus, the correct answer is C .