2025 AIME II 第 2 题

先试着解答 2025 AIME II 第 2 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2025 AIME II 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

2.

求所有满足

n + 2

整除

3(n + 3)(n^2 + 9)

的正整数

n

的和。

Find the sum of all positive integers

n

such that

n + 2

divides the product

3(n + 3)(n^2 + 9).

答案

答案：49

知识点：模运算整除性因数

难度评级：1890

小提示：

在模

n + 2

下，乘积

3(n+3)(n^2+9)

同余于一个常数：代入

n \equiv -2

Modulo

n + 2,

the product

3(n+3)(n^2+9)

is congruent to a constant: substitute

n \equiv -2

大提示：

你需要

n + 2

整除

3 \cdot 1 \cdot 13 = 39

，且

n + 2 \ge 3

You need

n + 2

to divide

3 \cdot 1 \cdot 13 = 39,

with

n + 2 \ge 3

解答：

在模

n + 2

下计算，此时

n \equiv -2

。于是

\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2} \end{gathered}\text{，}

所以

n + 2

整除

3(n+3)(n^2+9)

当且仅当

n + 2

整除

39

。

39

中至少为

3

的正因数是

3

、

13

、

39

，对应

n = 1

、

11

、

37

。它们的和为

1 + 11 + 37 = 49

。

Work modulo

n + 2,

where

n \equiv -2.

Then

\begin{gathered} 3(n + 3)(n^2 + 9) \\ \equiv 3 \cdot 1 \cdot (4 + 9) \\ = 39 \pmod{n + 2}, \end{gathered}

so

n + 2

divides

3(n+3)(n^2+9)

exactly when

n + 2

divides

39.

The divisors of

39

that are at least

3

are

3,

13,

and

39,

giving

n = 1,

11,

and

37.

The sum is

1 + 11 + 37 = 49.