2024 AIME I 第 7 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

7.

求表达式

(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}

实部的最大可能值，其中

z

是满足

|z| = 4

的复数。这里

\mathrm{i} = \sqrt{-1}

。

Find the largest possible real part of

(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}

where

z

is a complex number with

|z| = 4.

Here

\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

答案

答案：540

知识点：复数三角恒等式最优化

难度评级：2410

小提示：

写作

z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)

，并分别取每一项的实部

Write

z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)

and take the real part of each term

大提示：

你会得到形如

a\cos\theta + b\sin\theta

的表达式，其最大值为

\sqrt{a^2 + b^2}

You get an expression of the form

a\cos\theta + b\sin\theta,

whose maximum is

\sqrt{a^2 + b^2}

解答：

写

z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)

，所以

\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)

。

(75 + 117\mathrm{i})z

的实部为

4(75\cos\theta - 117\sin\theta)

= 300\cos\theta - 468\sin\theta

，而

(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)

的实部为

24\cos\theta + 36\sin\theta

。

总实部为

324\cos\theta - 432\sin\theta

，它关于

\theta

的最大值是

\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540 \end{aligned}\text{。}

Write

z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),

so

\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta).

The real part of

(75 + 117\mathrm{i})z

is

4(75\cos\theta - 117\sin\theta)

= 300\cos\theta - 468\sin\theta,

and the real part of

(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)

is

24\cos\theta + 36\sin\theta.

The total real part is

324\cos\theta - 432\sin\theta,

whose maximum over

\theta

is

\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540. \end{aligned}