Question

设实数 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 满足方程组 $\begin{aligned} xy + 4z &= 60, \\ yz + 4x &= 60, \\ zx + 4y &= 60. \end{aligned}$

设 $S$ 为 $x$ 的所有可能取值组成的集合。求 $S$ 中所有元素的平方和。

Let $x,$ $y,$ and $z$ be real numbers satisfying the system of equations $\begin{aligned} xy + 4z &= 60, \\ yz + 4x &= 60, \\ zx + 4y &= 60. \end{aligned}$

Let $S$ be the set of possible values of $x.$ Find the sum of the squares of the elements of $S.$

答案

答案：273

知识点：方程组因式分解对称性（代数）

难度评级：2460

解答：

用第一个方程减去第二个方程，得 $xy - yz + 4z - 4x = 0$ 可因式分解为 $(y - 4)(x - z) = 0$ 。所以 $y = 4$ 或 $x = z$ 。

若 $y = 4$ ：第一个方程变为 $4x + 4z = 60$ ，所以 $x + z = 15$ ，第二个方程仍给出同一个条件 $4z + 4x = 60$ 。第三个方程给出 $zx = 44$ 。于是 $x$ 和 $z$ 是 $t^2 - 15t + 44 = (t - 4)(t - 11)$ 的根，所以 $x \in \{4, 11\}$ 。

若 $x = z$ ：第一个方程为 $x(y + 4) = 60$ ，所以 $y = \frac{60}{x} - 4$ ，第三个方程为 $x^2 + 4y = 60$ 。代入得 $\begin{gathered} x^2 + \frac{240}{x} - 16 = 60 \\ \Longrightarrow x^3 - 76x + 240 = 0 \\ = (x - 4)(x - 6)(x + 10), \end{gathered}$ 所以 $x \in \{4, 6, -10\}$ ，并且每个都对应实数 $y$ 和 $z$ 。于是 $S = \{-10, 4, 6, 11\}$ ，平方和为 $100 + 16 + 36 + 121 = 273$ 。

Subtracting the second equation from the first gives $xy - yz + 4z - 4x = 0,$ which factors as $(y - 4)(x - z) = 0.$ So $y = 4$ or $x = z.$

If $y = 4:$ the first equation becomes $4x + 4z = 60,$ so $x + z = 15,$ and the second becomes $4z + 4x = 60$ again while the third gives $zx = 44.$ Then $x$ and $z$ are roots of $t^2 - 15t + 44 = (t - 4)(t - 11),$ so $x \in \{4, 11\}.$

If $x = z:$ the first equation reads $x(y + 4) = 60,$ so $y = \frac{60}{x} - 4,$ and the third reads $x^2 + 4y = 60.$ Substituting, $\begin{gathered} x^2 + \frac{240}{x} - 16 = 60 \\ \Longrightarrow x^3 - 76x + 240 = 0 \\ = (x - 4)(x - 6)(x + 10), \end{gathered}$ so $x \in \{4, 6, -10\},$ each with real $y$ and $z.$ Hence $S = \{-10, 4, 6, 11\}$ and the sum of squares is $100 + 16 + 36 + 121 = 273.$

2023 AIME II 第 4 题

答案：273

难度评级：2460

解答：

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