2023 AIME I 第 4 题

Question

对所有使

\frac{13!}{m}

为完全平方数的正整数

m

求和，所得结果可写成

2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f

，其中

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

都是正整数。求

a + b + c + d + e + f

。

The sum of all positive integers

m

such that

\frac{13!}{m}

is a perfect square can be written as

2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,

where

a,

b,

c,

d,

e,

and

f

are positive integers. Find

a + b + c + d + e + f.

答案

答案：12

知识点：质因数分解完全平方数阶乘

难度评级：2330

小提示：

分解

13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

，并判断

m

的各个质因数指数可以是什么。

Factor

13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

and decide which prime exponents

m

can have.

大提示：

m

的每个指数必须与

13!

中相应指数同奇偶，因此所有合法

m

的和可以分解成若干个等比和的乘积。

Each exponent of

m

must match the parity of the corresponding exponent of

13!,

so the sum of all valid

m

factors as a product of geometric sums.

解答：

因为

13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13

，合法的

m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v

必须使

\frac{13!}{m}

中每个质因数的指数为偶数：

x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}

、

y \in \{1, 3, 5\}

、

z \in \{0, 2\}

，且

w = u = v = 1

。

这些选择彼此独立，所以所有这样的

m

之和分解为

\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001 \end{aligned}\text{。}

因为

1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13

、

273 = 3 \cdot 7 \cdot 13

、

26 = 2 \cdot 13

，且

1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13

，所以该和等于

2^1 3^2 5^1 7^3 11^1 13^4

，从而

a + b + c + d + e + f

= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4

= 12

。

Since

13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,

a valid

m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v

must leave every exponent of

\frac{13!}{m}

even:

x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\},

y \in \{1, 3, 5\},

z \in \{0, 2\},

and

w = u = v = 1.

The choices are independent, so the sum of all such

m

factors as

\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001. \end{aligned}