Question

对所有使 $\frac{13!}{m}$ 为完全平方数的正整数 $m$ 求和，所得结果可写成 $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f$ ，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 、 $e$ 、 $f$ 都是正整数。求 $a + b + c + d + e + f$ 。

The sum of all positive integers $m$ such that $\frac{13!}{m}$ is a perfect square can be written as $2^a 3^b 5^c 7^d 11^e 13^f,$ where $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e,$ and $f$ are positive integers. Find $a + b + c + d + e + f.$

答案

答案：12

知识点：质因数分解完全平方数阶乘

难度评级：2330

解答：

因为 $13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ ，合法的 $m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v$ 必须使 $\frac{13!}{m}$ 中每个质因数的指数为偶数： $x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ 、 $y \in \{1, 3, 5\}$ 、 $z \in \{0, 2\}$ ，且 $w = u = v = 1$ 。

这些选择彼此独立，所以所有这样的 $m$ 之和分解为因为 $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ 、 $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13$ 、 $26 = 2 \cdot 13$ ，且 $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ ，所以该和等于 $2^1 3^2 5^1 7^3 11^1 13^4$ ，从而 $a + b + c + d + e + f$ $= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4$ $= 12$ 。 $\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001. \end{aligned}$

Since $13! = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13,$ a valid $m = 2^x 3^y 5^z 7^w 11^u 13^v$ must leave every exponent of $\frac{13!}{m}$ even: $x \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\},$ $y \in \{1, 3, 5\},$ $z \in \{0, 2\},$ and $w = u = v = 1.$

The choices are independent, so the sum of all such $m$ factors as $\begin{aligned} &(1 + 4 + \cdots + 1024) \\ &\quad {}\cdot (3 + 27 + 243) \\ &\quad {}\cdot (1 + 25) \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \\ &= 1365 \cdot 273 \cdot 26 \cdot 1001. \end{aligned}$ Since $1365 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13,$ $273 = 3 \cdot 7 \cdot 13,$ $26 = 2 \cdot 13,$ and $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13,$ the sum equals $2^1 3^2 5^1 7^3 11^1 13^4,$ and $a + b + c + d + e + f$ $= 1 + 2 + 1 + 3 + 1 + 4$ $= 12.$

2023 AIME I 第 4 题

答案：12

难度评级：2330

解答：

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