Question

将 $702$ ， $787$ ，和 $855$ 分别除以正整数 $m$ 时，余数总是同一个正整数 $r$ 。将 $412$ ， $722$ ，和 $815$ 分别除以正整数 $n$ 时，余数总是同一个正整数 $s \neq r$ 。求 $m + n + r + s$ 。

When each of $702,$ $787,$ and $855$ is divided by the positive integer $m,$ the remainder is always the positive integer $r.$ When each of $412,$ $722,$ and $815$ is divided by the positive integer $n,$ the remainder is always the positive integer $s \neq r.$ Find $m + n + r + s.$

答案

答案：62

知识点：最大公约数模运算整除性

难度评级：2070

解答：

除以 $m$ 余数相同的两个数之差是 $m$ 的倍数，所以 $m$ 同时整除 $787 - 702 = 85$ 和 $855 - 787 = 68$ 。因为 $\gcd(85, 68) = 17$ ，且 $m$ 必须大于正余数 $r$ ，所以 $m = 17$ ，并且 $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5$ 。

同理， $n$ 同时整除 $722 - 412 = 310$ 和 $815 - 722 = 93$ ，且 $\gcd(310, 93) = 31$ ，所以 $n = 31$ ，并且 $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9$ ，它确实不同于 $r$ 。

所求和为 $17 + 31 + 5 + 9 = 62$ 。

Numbers leaving equal remainders upon division by $m$ differ by multiples of $m,$ so $m$ divides both $787 - 702 = 85$ and $855 - 787 = 68.$ Since $\gcd(85, 68) = 17$ and $m$ must exceed the positive remainder $r,$ we get $m = 17,$ and $r = 702 - 41 \cdot 17 = 5.$

Similarly $n$ divides both $722 - 412 = 310$ and $815 - 722 = 93,$ and $\gcd(310, 93) = 31,$ so $n = 31$ and $s = 412 - 13 \cdot 31 = 9,$ which indeed differs from $r.$

The requested sum is $17 + 31 + 5 + 9 = 62.$

2017 AIME I 第 2 题

答案：62

难度评级：2070

解答：

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