Question

在一个等腰梯形中，两条平行底边的长度分别为 $\log 3$ 和 $\log 192$ ，到底边的高为 $\log 16$ 。这个梯形的周长可以写成 $\log 2^p 3^q$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。求 $p + q$ 。

In an isosceles trapezoid, the parallel bases have lengths $\log 3$ and $\log 192,$ and the altitude to these bases has length $\log 16.$ The perimeter of the trapezoid can be written in the form $\log 2^p 3^q,$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：18

知识点：对数梯形勾股数

难度评级：2170

解答：

从短底的两端向长底作高，每条腰都是一个直角三角形的斜边；该直角三角形的两条直角边为高 $\log 16 = 4\log 2$ ，以及两底差的一半 $\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)$ $= \frac{1}{2}\log 64$ $= 3 \log 2$ 。由 $3$ - $4$ - $5$ 比例，每条腰长为 $5 \log 2$ 。

周长为 $\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}$ 所以 $p + q = 16 + 2 = 18$ 。

Dropping altitudes from the ends of the short base, each leg is the hypotenuse of a right triangle whose legs are the altitude $\log 16 = 4\log 2$ and half the difference of the bases, $\frac{1}{2}(\log 192 - \log 3)$ $= \frac{1}{2}\log 64$ $= 3 \log 2.$ By the $3$ - $4$ - $5$ ratio, each leg has length $5 \log 2.$

The perimeter is $\begin{aligned} &\log 3 + \log 192 + 2 \cdot 5\log 2 \\ &= \log(3 \cdot 192) + \log 2^{10} \\ &= \log(2^6 3^2) + \log 2^{10} \\ &= \log 2^{16} 3^2, \end{aligned}$ so $p + q = 16 + 2 = 18.$

2015 AIME II 第 4 题

答案：18

难度评级：2170

解答：

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