Question

在 $\triangle ABC$ 中， $AC = BC$ ，点 $D$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $CD = 3 \cdot BD$ 。设 $E$ 为 $\overline{AD}$ 的中点。已知 $CE = \sqrt{7}$ 且 $BE = 3$ ， $\triangle ABC$ 的面积可表示为 $m\sqrt{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数，且 $n$ 不被任何质数平方整除。求 $m + n$ 。

In $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ and point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $CD = 3 \cdot BD.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ Given that $CE = \sqrt{7}$ and $BE = 3,$ the area of $\triangle ABC$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

答案

答案：10

知识点：余弦定理中线（几何）方程组

难度评级：3060

解答：

设 $AB = 2x$ ， $AC = BC = y$ ，于是 $BD = \frac{y}{4}$ ， $CD = \frac{3y}{4}$ ，并且 $\cos B = \frac{x}{y}$ （从 $C$ 向 $\overline{AB}$ 的中点作高）。在三角形 $ABD$ 中用余弦定理： $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

$CE$ 和 $BE$ 都是到 $\overline{AD}$ 的中线，分别位于三角形 $ACD$ 和 $ABD$ 中。中线公式 $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ 给出由第二个方程 $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2$ ；代入第一个方程得到 $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28$ ，所以 $248x^2 = 1736$ ， $x^2 = 7$ ，进而 $y^2 = 16$ 。 $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

从 $C$ 作出的高长为 $\sqrt{y^2 - x^2} = 3$ ，所以面积为 $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7}$ ，因此 $m + n = 3 + 7 = 10$ 。

Let $AB = 2x$ and $AC = BC = y,$ so $BD = \frac{y}{4},$ $CD = \frac{3y}{4},$ and $\cos B = \frac{x}{y}$ (drop the altitude from $C$ to the midpoint of $\overline{AB}$ ). The law of cosines in triangle $ABD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

Both $CE$ and $BE$ are medians to $\overline{AD},$ in triangles $ACD$ and $ABD$ respectively. The median formula $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ gives $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$ From the second equation $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;$ substituting into the first gives $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,$ so $248x^2 = 1736,$ $x^2 = 7,$ and then $y^2 = 16.$

The altitude from $C$ has length $\sqrt{y^2 - x^2} = 3,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},$ and $m + n = 3 + 7 = 10.$

2013 AIME II 第 13 题

答案：10

难度评级：3060

解答：

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