Question

点 $P$ 在正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上，且 $AP \gt CP$ 。令 $O_1$ 和 $O_2$ 分别为三角形 $ABP$ 和 $CDP$ 的外心。已知 $AB = 12$ 且 $\angle O_1PO_2 = 120^\circ$ ，则 $AP = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数。求 $a + b$ 。

Point $P$ lies on the diagonal $AC$ of square $ABCD$ with $AP \gt CP.$ Let $O_1$ and $O_2$ be the circumcenters of triangles $ABP$ and $CDP,$ respectively. Given that $AB = 12$ and $\angle O_1PO_2 = 120^\circ,$ then $AP = \sqrt{a} + \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

答案

答案：96

知识点：外接圆、外心与外接圆半径坐标几何向量

难度评级：3160

解答：

取 $A = (0, 0)$ ， $B = (12, 0)$ ， $C = (12, 12)$ ， $D = (0, 12)$ ，并令 $P = (p, p)$ ，其中 $p \gt 6$ 。因为 $O_1$ 到 $A$ 和 $B$ 距离相等，它在 $x = 6$ 上；设 $O_1 = (6, k)$ ，令 $O_1A^2 = O_1P^2$ ，得到 $k = p - 6$ ，所以 $O_1 = (6,\, p - 6)$ 。同理，到 $C$ 和 $D$ 等距的 $O_2$ 为 $O_2 = (6,\, p + 6)$ 。

从 $P$ 指向两个圆心的向量为 $(6 - p,\, -6)$ 和 $(6 - p,\, 6)$ ，所以 $\begin{aligned} \cos 120^\circ &= \frac{(6 - p)^2 - 36}{(6 - p)^2 + 36} \\ &= -\frac{1}{2}, \end{aligned}$ 由此 $3(p - 6)^2 = 36$ ，所以 $(p - 6)^2 = 12$ ，且 $p = 6 + 2\sqrt{3}$ 。

因而 $AP = p\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} =$ $\sqrt{72} + \sqrt{24}$ ，所以 $a + b = 72 + 24 = 96$ 。

Place $A = (0, 0),$ $B = (12, 0),$ $C = (12, 12),$ $D = (0, 12),$ and $P = (p, p)$ with $p \gt 6.$ Since $O_1$ is equidistant from $A$ and $B,$ it lies on $x = 6;$ setting $O_1 = (6, k)$ and equating $O_1A^2 = O_1P^2$ gives $k = p - 6,$ so $O_1 = (6,\, p - 6).$ Similarly $O_2,$ equidistant from $C$ and $D,$ is $O_2 = (6,\, p + 6).$

The vectors from $P$ to the centers are $(6 - p,\, -6)$ and $(6 - p,\, 6),$ so $\begin{aligned} \cos 120^\circ &= \frac{(6 - p)^2 - 36}{(6 - p)^2 + 36} \\ &= -\frac{1}{2}, \end{aligned}$ which gives $3(p - 6)^2 = 36,$ so $(p - 6)^2 = 12$ and $p = 6 + 2\sqrt{3}.$

Then $AP = p\sqrt{2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{6} =$ $\sqrt{72} + \sqrt{24},$ so $a + b = 72 + 24 = 96.$

2011 AIME II 第 13 题

答案：96

难度评级：3160

解答：

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