Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 125$ 、 $AC = 117$ 、 $BC = 120$ 。角 $A$ 的角平分线与 $\overline{BC}$ 交于点 $L$ ，角 $B$ 的角平分线与 $\overline{AC}$ 交于点 $K$ 。设 $M$ 和 $N$ 分别是从 $C$ 到 $\overline{BK}$ 与 $\overline{AL}$ 的垂足。求 $MN$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = 125,$ $AC = 117,$ and $BC = 120.$ The angle bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at point $L,$ and the angle bisector of angle $B$ intersects $\overline{AC}$ at point $K.$ Let $M$ and $N$ be the feet of the perpendiculars from $C$ to $\overline{BK}$ and $\overline{AL},$ respectively. Find $MN.$

答案

答案：56

知识点：角平分线等腰三角形中点

难度评级：2510

解答：

延长 $\overline{CM}$ 和 $\overline{CN}$ ，分别与 $\overline{AB}$ 交于 $P$ 和 $Q$ ，在三角形 $BCP$ 中，线段 $BM$ 同时是角平分线和高，所以三角形是等腰的， $BP = BC = 120$ ，且 $M$ 是 $\overline{CP}$ 的中点。类似地，三角形 $ACQ$ 是等腰的， $AQ = AC = 117$ ，且 $N$ 是 $\overline{CQ}$ 的中点。

因此 $\overline{MN}$ 是三角形 $CPQ$ 的中位线，所以 $MN = \frac{PQ}{2}$ 。又所以 $MN = 56$ 。 $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$

Extend $\overline{CM}$ and $\overline{CN}$ to meet $\overline{AB}$ at $P$ and $Q,$ respectively. In triangle $BCP,$ the segment $BM$ is both an angle bisector and an altitude, so the triangle is isosceles with $BP = BC = 120,$ and $M$ is the midpoint of $\overline{CP}.$ Similarly, triangle $ACQ$ is isosceles with $AQ = AC = 117,$ and $N$ is the midpoint of $\overline{CQ}.$

Hence $\overline{MN}$ is a midline of triangle $CPQ,$ so $MN = \frac{PQ}{2}.$ Since $\begin{aligned} PQ &= BP + AQ - AB \\ &= 120 + 117 - 125 \\ &= 112, \end{aligned}$ we conclude $MN = 56.$

2011 AIME I 第 4 题

答案：56

难度评级：2510

解答：

其他年份的第 4 题