Question

在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $M$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000}$ 。点 $N$ 在 $\overline{AD}$ 上，且 $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}$ 。令 $P$ 为 $\overline{AC}$ 与 $\overline{MN}$ 的交点。求 $\frac{AC}{AP}$ 。

In parallelogram $ABCD,$ point $M$ is on $\overline{AB}$ so that $\frac{AM}{AB} = \frac{17}{1000},$ and point $N$ is on $\overline{AD}$ so that $\frac{AN}{AD} = \frac{17}{2009}.$ Let $P$ be the point of intersection of $\overline{AC}$ and $\overline{MN}.$ Find $\frac{AC}{AP}.$

答案

答案：177

知识点：向量平行四边形

难度评级：2400

解答：

将 $A$ 放在原点，令 $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ ， $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD}$ ，于是 $C = \mathbf{b} + \mathbf{d}$ ， $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b}$ ，且 $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}$ 。因为 $P$ 在 $\overline{AC}$ 上，写作 $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ ，其中 $s = \frac{AP}{AC}$ ；又因为 $P$ 在直线 $MN$ 上，可对某个 $t$ 写作 $P = tM + (1 - t)N$ 。

因为 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{d}$ 线性无关，系数必须相等： $s = \frac{17t}{1000}$ 且 $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ 因此 $t = \frac{1000s}{17}$ ，且 $1 - t = \frac{2009s}{17}$ ；相加得 $1 = \frac{3009s}{17}$ 。

所以 $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177$ 。

Place $A$ at the origin and let $\mathbf{b} = \overrightarrow{AB}$ and $\mathbf{d} = \overrightarrow{AD},$ so that $C = \mathbf{b} + \mathbf{d},$ $M = \frac{17}{1000}\mathbf{b},$ and $N = \frac{17}{2009}\mathbf{d}.$ Since $P$ lies on $\overline{AC},$ write $P = s\,(\mathbf{b} + \mathbf{d})$ where $s = \frac{AP}{AC};$ since $P$ also lies on line $MN,$ write $P = tM + (1 - t)N$ for some $t.$

Because $\mathbf{b}$ and $\mathbf{d}$ are independent, the coefficients must agree: $s = \frac{17t}{1000}$ and $s = \frac{17(1-t)}{2009}.$ Thus $t = \frac{1000s}{17}$ and $1 - t = \frac{2009s}{17};$ adding gives $1 = \frac{3009s}{17}.$

Therefore $\frac{AC}{AP} = \frac{1}{s} = \frac{3009}{17} = 177.$

2009 AIME I 第 4 题

答案：177

难度评级：2400

解答：

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