2008 AIME II 第 7 题

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7.

令

r

、

s

、

t

为方程

8x^3 + 1001x + 2008 = 0

的三个根。求

(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3

。

Let

r,

s,

and

t

be the three roots of the equation

8x^3 + 1001x + 2008 = 0.

Find

(r + s)^3 + (s + t)^3 + (t + r)^3.

答案

答案：753

知识点：韦达定理多项式立方和与立方差

难度评级：2410

小提示：

没有

x^2

项，所以

r + s + t = 0

，且

r + s

、

s + t

、

t + r

分别是某个根的相反数

There is no

x^2

term, so

r + s + t = 0

and each of

r + s,

s + t,

t + r

is the negative of a root

大提示：

当

x + y + z = 0

时，可用恒等式

x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

；韦达定理由常数项给出根的乘积

When

x + y + z = 0,

the identity

x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz

applies; Vieta gives the product of the roots from the constant term

解答：

该三次方程没有

x^2

项，所以由韦达定理

r + s + t = 0

。于是

r + s = -t

，

s + t = -r

，且

t + r = -s

，所求和为

\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3) \end{aligned}\text{。}

当

r + s + t = 0

时，恒等式

r^3 + s^3 + t^3 - 3rst

= (r + s + t)

(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)

给出

r^3 + s^3 + t^3 = 3rst

。由韦达定理，

rst = -\frac{2008}{8} = -251

，所以

r^3 + s^3 + t^3 = -753

，答案为

-(-753) = 753

。

The cubic has no

x^2

term, so

r + s + t = 0

by Vieta’s formulas. Hence

r + s = -t,

s + t = -r,

and

t + r = -s,

and the desired sum is

\begin{aligned} &(-t)^3 + (-r)^3 \\ &\quad {}+ (-s)^3 \\ &= -(r^3 + s^3 + t^3). \end{aligned}

Whenever

r + s + t = 0,

the identity

r^3 + s^3 + t^3 - 3rst

= (r + s + t)

(r^2 + s^2 + t^2 - rs - st - tr)

gives

r^3 + s^3 + t^3 = 3rst.

By Vieta’s formulas,

rst = -\frac{2008}{8} = -251,

so

r^3 + s^3 + t^3 = -753,

and the answer is

-(-753) = 753.