Question

将华氏温度 $F$ 转换为对应摄氏温度 $C$ 的公式是 $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ 。一个整数华氏温度先被转换为摄氏温度并四舍五入到最接近的整数；得到的整数摄氏温度再转换回华氏温度，并四舍五入到最接近的整数。对于满足 $32 \le T \le 1000$ 的整数华氏温度 $T$ 有多少个原温度等于最终温度？

The formula for converting a Fahrenheit temperature $F$ to the corresponding Celsius temperature $C$ is $C = \frac{5}{9}(F - 32).$ An integer Fahrenheit temperature is converted to Celsius and rounded to the nearest integer; the resulting integer Celsius temperature is converted back to Fahrenheit and rounded to the nearest integer. For how many integer Fahrenheit temperatures $T$ with $32 \le T \le 1000$ does the original temperature equal the final temperature?

答案

答案：539

知识点：取整函数模运算小情形

难度评级：2560

解答：

$F$ 增加 $9$ 时， $\frac{5}{9}(F - 32)$ ，恰好增加 $5$ 因而四舍五入后的摄氏值也增加 $5$ 最终华氏值也增加 $9$ 。所以 $T$ 能回到自身当且仅当 $T + 9$ 能回到自身，因此只需检查连续九个温度。检查 $32$ 到 $40$ ：最终值为 $32, 34, 34, 36, 36, 37, 37, 39, 39$ ，所以恰好有 $32, 34, 36, 37, 39$ 这五个温度能保留下来。

从 $32$ 到 $994$ 的范围含有 $963 = 107 \cdot 9$ 个整数，贡献 $107 \cdot 5 = 535$ 个保留下来的温度。剩下的 $995, \ldots, 1000$ 行为与 $32, \ldots, 37$ ，相同，其中 $32, 34, 36, 37$ 能保留下来，又增加 $4$ 个。

总数为 $535 + 4 = 539$ 。

Adding $9$ to $F$ adds exactly $5$ to $\frac{5}{9}(F - 32),$ hence $5$ to the rounded Celsius value, hence $9$ to the final Fahrenheit value. So $T$ returns to itself if and only if $T + 9$ does, and it suffices to check nine consecutive temperatures. Checking $32$ through $40:$ the final values are $32, 34, 34, 36, 36, 37, 37, 39, 39,$ so exactly the five temperatures $32, 34, 36, 37, 39$ survive.

The range from $32$ through $994$ contains $963 = 107 \cdot 9$ integers, contributing $107 \cdot 5 = 535$ survivors. The remaining $995, \ldots, 1000$ behave like $32, \ldots, 37,$ of which $32, 34, 36, 37$ survive, adding $4$ more.

The total is $535 + 4 = 539.$

2007 AIME I 第 5 题

答案：539

难度评级：2560

解答：

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