2006 AIME II 第 2 题

Question

一个面积为正的三角形的三边长分别为

\log_{10} 12

、

\log_{10} 75

和

\log_{10} n

，其中

n

是正整数。求

n

的可能取值个数。

The lengths of the sides of a triangle with positive area are

\log_{10} 12,

\log_{10} 75,

and

\log_{10} n,

where

n

is a positive integer. Find the number of possible values for

n.

答案

答案：893

知识点：三角不等式对数

难度评级：1890

小提示：

三条边长必须满足三角形不等式；其中两个条件会从两侧限制

\log_{10} n

。

The three lengths must satisfy the triangle inequality; two of the three conditions bound

\log_{10} n

from both sides.

大提示：

\log 75 - \log 12

\lt \log n \lt

\log 75 + \log 12

，所以

\frac{25}{4} \lt n \lt 900

。

\log 75 - \log 12

\lt \log n \lt

\log 75 + \log 12,

so

\frac{25}{4} \lt n \lt 900.

解答：

三角形不等式要求

\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900

，以及

\log 12 + \log n \gt \log 75

，即

\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}

。剩下的不等式

\log 75 + \log n \gt \log 12

自动成立，因为

n \ge 1

且

75 \gt 12

。

因此

\frac{25}{4} \lt n \lt 900

，对整数来说就是

7 \le n \le 899

。共有

899 - 7 + 1 = 893

个可能的

n

值。

The triangle inequality requires

\log n \lt \log 12 + \log 75 = \log 900

and

\log 12 + \log n \gt \log 75,

that is

\log n \gt \log 75 - \log 12 = \log \frac{25}{4}.

The remaining inequality,

\log 75 + \log n \gt \log 12,

is automatic because

n \ge 1

and

75 \gt 12.

So

\frac{25}{4} \lt n \lt 900,

which for integers means

7 \le n \le 899.

That gives

899 - 7 + 1 = 893

possible values of

n.

2006 AIME II 第 2 题

答案：893

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 2 题