Question

令 $N$ 为乘积 $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!$ 的通常数字写法末尾连续 $0$ 的个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $N$ be the number of consecutive $0$ 's at the right end of the decimal representation of the product $1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

答案

答案：124

知识点：末尾零阶乘求和

难度评级：2400

解答：

因子 $2$ 非常充足，所以 $N$ 是该乘积中因子 $5$ 的指数。每个满足 $1 \le j \le 100$ 的整数 $j$ 恰好作为因子出现在 $101 - j$ 个阶乘中，即 $j!, (j+1)!, \ldots, 100!$ 。

每个 $5$ 的倍数每出现一次就贡献一个因子 $5$ ，每个 $25$ 的倍数还要再贡献一个。对 $j = 5, 10, \ldots, 100$ ，出现次数总和为 $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970$ ，对 $j = 25, 50, 75, 100$ ，出现次数总和为 $76 + 51 + 26 + 1 = 154$ 。

因此 $N = 970 + 154 = 1124$ ，除以 $1000$ 的余数为 $124$ 。

Factors of $2$ are plentiful, so $N$ is the exponent of $5$ in the product. Each integer $j$ with $1 \le j \le 100$ appears as a factor in exactly $101 - j$ of the factorials, namely $j!, (j+1)!, \ldots, 100!.$

Every multiple of $5$ contributes one factor of $5$ per appearance, and every multiple of $25$ contributes one more. Over $j = 5, 10, \ldots, 100$ the appearances total $96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,$ and over $j = 25, 50, 75, 100$ they total $76 + 51 + 26 + 1 = 154.$

Hence $N = 970 + 154 = 1124,$ and the remainder upon division by $1000$ is $124.$

2006 AIME I 第 4 题

答案：124

难度评级：2400

解答：

其他年份的第 4 题