2006 AIME I 第 4 题

Question

令

N

为乘积

1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!

的十进制写法末尾连续

0

的个数。求

N

除以

1000

的余数。

Let

N

be the number of consecutive

0

’s at the right end of the decimal representation of the product

1!\,2!\,3!\,4! \cdots 99!\,100!.

Find the remainder when

N

is divided by

1000.

答案

答案：124

知识点：末尾零阶乘求和

难度评级：2400

小提示：

计算因子

5

的个数：整数

j

恰好作为因子出现在

101 - j

个阶乘中

Count factors of

5:

the integer

j

appears as a factor in exactly

101 - j

of the factorials

大提示：

先求

101 - j

在所有

5

的倍数处的和；再对

25

的倍数额外加同样的和，计入它们的第二个因子

5

Sum

101 - j

over all multiples of

5,

then add the same sum over multiples of

25

for their second factor of

5

解答：

因子

2

非常充足，所以

N

是该乘积中因子

5

的指数。每个整数

j

，只要满足

1 \le j \le 100

，就恰好作为因子出现在

101 - j

个阶乘中，即

j!, (j+1)!, \ldots, 100!

。

每个

5

的倍数每出现一次就贡献一个因子

5

，每个

25

的倍数还要再贡献一个。对

j = 5, 10, \ldots, 100

，出现次数总和为

96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970

，对

j = 25, 50, 75, 100

，出现次数总和为

76 + 51 + 26 + 1 = 154

。

因此

N = 970 + 154 = 1124

，除以

1000

的余数为

124

。

Factors of

2

are plentiful, so

N

is the exponent of

5

in the product. Each integer

j

with

1 \le j \le 100

appears as a factor in exactly

101 - j

of the factorials, namely

j!, (j+1)!, \ldots, 100!.

Every multiple of

5

contributes one factor of

5

per appearance, and every multiple of

25

contributes one more. Over

j = 5, 10, \ldots, 100

the appearances total

96 + 91 + \cdots + 1 = \frac{20 \cdot 97}{2} = 970,

and over

j = 25, 50, 75, 100

they total

76 + 51 + 26 + 1 = 154.

Hence

N = 970 + 154 = 1124,

and the remainder upon division by

1000

is

124.

2006 AIME I 第 4 题

答案：124

难度评级：2400

小提示：

大提示：

解答：

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