2004 AIME I 第 7 题

Question

设

C

为以下乘积展开式中

x^2

的系数：

\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x) \end{aligned}

求

|C|

。

Let

C

be the coefficient of

x^2

in the expansion of the product

\begin{aligned} &(1 - x)(1 + 2x)(1 - 3x) \cdots \\ &\quad {}\cdot (1 + 14x)(1 - 15x). \end{aligned}

Find

|C|.

答案

答案：588

知识点：多项式代数变形前n项平方和

难度评级：2390

小提示：

x^2

的系数是从

-1, 2, -3, \ldots, 14, -15

中取两项相乘后对所有成对选择求和

The

x^2

coefficient is the sum of the products of pairs from

-1, 2, -3, \ldots, 14, -15

大提示：

使用

2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2

，且交错和为

-8

Use

2\sum_{i \lt j} a_i a_j = \left(\sum a_i\right)^2 - \sum a_i^2,

and the alternating sum is

-8

解答：

将乘积写成

\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)

，其中

a_k = (-1)^k k

。

x^2

项来自从两个因式中选出

x

项，因此

C = \sum_{i \lt j} a_i a_j

，并且

C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}\text{。}

交错和为

\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8 \end{aligned}\text{，}

并且

\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240 \end{aligned}\text{。}

因此

C = \frac{64 - 1240}{2} = -588

，所以

|C| = 588

。

Write the product as

\prod_{k=1}^{15} (1 + a_k x)

with

a_k = (-1)^k k.

An

x^2

term arises by choosing the

x

-term from two factors, so

C = \sum_{i \lt j} a_i a_j,

and

C = \frac{\left(\sum a_k\right)^2 - \sum a_k^2}{2}.

The alternating sum is

\begin{aligned} &(-1 + 2) + (-3 + 4) \\ &\quad {}+ \cdots + (-13 + 14) - 15 \\ &= 7 - 15 \\ &= -8, \end{aligned}

and

\begin{aligned} \sum a_k^2 &= 1^2 + 2^2 + \cdots + 15^2 \\ &= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} \\ &= 1240. \end{aligned}

Thus

C = \frac{64 - 1240}{2} = -588,

so

|C| = 588.

2004 AIME I 第 7 题

答案：588

难度评级：2390

小提示：

大提示：

解答：

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