Question

点 $B$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $AB = 9$ 、 $BC = 21$ 。点 $D$ 不在 $\overline{AC}$ 上，并满足 $AD = CD$ ，且 $AD$ 和 $BD$ 都是整数。设 $s$ 为 $\triangle ACD$ 所有可能周长之和。求 $s$ 。

Point $B$ is on $\overline{AC}$ with $AB = 9$ and $BC = 21.$ Point $D$ is not on $\overline{AC}$ so that $AD = CD,$ and $AD$ and $BD$ are integers. Let $s$ be the sum of all possible perimeters of $\triangle ACD.$ Find $s.$

答案

答案：380

知识点：平方差勾股定理丢番图方程

难度评级：2270

解答：

设 $AD = CD = a$ 、 $BD = b$ ，并设 $E$ 是从 $D$ 到 $\overline{AC}$ 的垂足。因为 $AD = CD$ ，点 $E$ 是 $\overline{AC}$ 的中点，所以 $AE = 15$ 且 $BE = 15 - 9 = 6$ 。直角三角形 $DEA$ 与 $DEB$ 共有边 $DE$ ，因此即 $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ $(a+b)(a-b) = 189.$

分解 $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ ，得到 $(a, b) = (95, 94)$ ， $(33, 30)$ ， $(17, 10)$ ，和 $(15, 6)$ 。最后一组舍去： $b = 6$ 会使 $D$ 落在 $\overline{AC}$ 上。每个有效的数对给出周长 $2a + 30$ 。

因此 $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380$ 。

Let $AD = CD = a$ and $BD = b,$ and let $E$ be the foot of the perpendicular from $D$ to $\overline{AC}.$ Since $AD = CD,$ point $E$ is the midpoint of $\overline{AC},$ so $AE = 15$ and $BE = 15 - 9 = 6.$ The right triangles $DEA$ and $DEB$ share leg $DE,$ so $a^2 - 15^2 = DE^2 = b^2 - 6^2,$ that is $(a+b)(a-b) = 189.$

The factorizations $189 = 189 \cdot 1$ $= 63 \cdot 3$ $= 27 \cdot 7 = 21 \cdot 9$ give $(a, b) = (95, 94),$ $(33, 30),$ $(17, 10),$ and $(15, 6).$ The last is rejected: $b = 6$ would put $D$ on $\overline{AC}.$ Each valid pair gives a triangle with perimeter $2a + 30.$

Therefore $s = (190 + 30)$ $+ (66 + 30)$ $+ (34 + 30)$ $= 220 + 96 + 64$ $= 380.$

2003 AIME I 第 7 题

答案：380

难度评级：2270

解答：

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