Question

若 $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$ 是一个实数集合，并按 $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n$ 编号，则它的复幂和定义为 $a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n$ ，其中 $i^2 = -1$ 。令 $S_n$ 为 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的所有非空子集的复幂和之和。已知 $S_8 = -176 - 64i$ ，且 $S_9 = p + qi$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是整数。求 $|p| + |q|$ 。

If $\{a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\}$ is a set of real numbers, indexed so that $a_1 \lt a_2 \lt a_3 \lt \cdots \lt a_n,$ its complex power sum is defined to be $a_1 i + a_2 i^2 + a_3 i^3 + \cdots + a_n i^n,$ where $i^2 = -1.$ Let $S_n$ be the sum of the complex power sums of all nonempty subsets of $\{1, 2, \ldots, n\}.$ Given that $S_8 = -176 - 64i$ and $S_9 = p + qi,$ where $p$ and $q$ are integers, find $|p| + |q|.$

答案

答案：368

知识点：复数递推二项式定理

难度评级：2920

解答：

按是否包含 $9$ 来划分 $\{1, \ldots, 9\}$ 的非空子集。不含 $9$ 的子集贡献 $S_8$ 。包含 $9$ 的子集可写成 $T \cup \{9\}$ ，其中 $T \subseteq \{1, \ldots, 8\}$ 可以为空；因为 $9$ 是其中最大的元素，它的复幂和等于 $T$ 的复幂和再加上 $9i^{|T| + 1}$ 。对所有 $T$ 求和，又得到一个 $S_8$ 外加 $\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8.$

因为 $(1 + i)^2 = 2i$ ，所以 $(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16$ ，于是 $\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i. \end{aligned}$

因此 $|p| + |q| = 352 + 16 = 368$ 。

Split the nonempty subsets of $\{1, \ldots, 9\}$ by whether they contain $9.$ Those without $9$ contribute $S_8.$ A subset containing $9$ is $T \cup \{9\}$ for a (possibly empty) $T \subseteq \{1, \ldots, 8\},$ and since $9$ is its largest element, its complex power sum is the complex power sum of $T$ plus $9i^{|T| + 1}.$ Summing over all $T$ gives another $S_8$ plus $\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k}\, 9\, i^{k+1} = 9i\,(1 + i)^8.$

Since $(1 + i)^2 = 2i,$ we get $(1 + i)^8 = (2i)^4 = 16,$ so $\begin{aligned} S_9 &= 2S_8 + 144i \\ &= 2(-176 - 64i) + 144i \\ &= -352 + 16i. \end{aligned}$

Therefore $|p| + |q| = 352 + 16 = 368.$

1998 AIME 第 13 题

答案：368

难度评级：2920

解答：

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