Question

设 $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|$ ，其中 $0<p<15$ 。求 $f(x)$ 在 $x$ 属于区间 $p\leq x\leq15$ 时的最小值。

Let $f(x)=|x-p|+|x-15|$ ${}+|x-p-15|,$ where $0<p<15.$ Determine the minimum value taken by $f(x)$ for $x$ in the interval $p\leq x\leq15.$

答案

答案：15

知识点：绝对值最优化

难度评级：1590

小提示：

在给定区间内判断每个绝对值中的表达式的符号

Determine the sign of each expression inside an absolute value on the given interval

大提示：

在 $p\leq x\leq15$ 上，把 $f(x)$ 化为一个递减的一次函数

On $p\leq x\leq15,$ simplify $f(x)$ to a decreasing linear function

解答：

因为 $p\leq x\leq15$ ，所以 $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x \end{aligned}\text{。}$ 因此 $f(x)=30-x$ 。该函数在右端点 $x=15$ 处取得最小值 $15$ 。

Since $p\leq x\leq15,$ we have $\begin{aligned} |x-p|&=x-p,\\ |x-15|&=15-x,\\ |x-p-15|&=p+15-x. \end{aligned}$ Hence $f(x)=30-x.$ This is minimized at the right endpoint $x=15,$ where its value is $15.$

1983 AIME 第 2 题

答案：15

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

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