2024 AMC 8 Problema 25

Question

Un avión pequeño tiene

4

filas de asientos con

3

asientos en cada fila. Ocho pasajeros han abordado el avión y están distribuidos al azar entre los asientos. Una pareja casada es la siguiente en abordar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya

2

asientos adyacentes en la misma fila para la pareja?

A small airplane has

4

rows of seats with

3

seats in each row. Eight passengers have boarded the plane and are distributed randomly among the seats. A married couple is next to board. What is the probability there will be

2

adjacent seats in the same row for the couple?

\dfrac{8}{15}

\dfrac{32}{55}

\dfrac{20}{33}

\dfrac{34}{55}

\dfrac{8}{11}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica conteo complementario funciones generatrices

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Cuenta los cuatro asientos vacíos después de que abordan los primeros ocho pasajeros

Count the four empty seats after the first eight passengers board

Pista grande:

Usa el complemento: ninguna fila tiene dos asientos vacíos adyacentes

Use the complement: no row has two adjacent empty seats

Solución en video:

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Solución escrita:

Después de que se sientan los primeros

8

pasajeros, hay

4

asientos vacíos entre los

12

asientos, así que hay

\binom{12}{4}=495

conjuntos de asientos vacíos igualmente probables.

Contamos el complemento, donde ninguna fila tiene dos asientos vacíos adyacentes. En una fila de tres asientos, los patrones de asientos vacíos sin dos adyacentes tienen tamaños

0,

1,

y

2,

con

1,

3,

y

1

opciones respectivamente. Así que necesitamos el coeficiente de

x^4

en

(1+3x+x^2)^4.

Este coeficiente es

\begin{gathered} 3^4+4\cdot3\cdot3^2+\binom42 \\ =81+108+6 \\ =195. \end{gathered}

Por lo tanto, la probabilidad de que al menos una fila tenga asientos vacíos adyacentes es

\frac{495-195}{495}=\frac{20}{33}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

After the first

8

passengers sit, there are

4

empty seats among the

12

seats, so there are

\binom{12}{4}=495

equally likely sets of empty seats.

Count the complement, where no row has two adjacent empty seats. In a row of three seats, the possible empty-seat patterns with no adjacent empty seats have sizes

0,

1,

and

2,

with

1,

3,

and

1

choices respectively. So we need the coefficient of

x^4

in

(1+3x+x^2)^4.

This coefficient is

\begin{gathered} 3^4+4\cdot3\cdot3^2+\binom42 \\ =81+108+6 \\ =195. \end{gathered}

Therefore the probability that at least one row has adjacent empty seats is

\frac{495-195}{495}=\frac{20}{33}.

Thus, C is the correct answer.