2018 AMC 8 Problema 25

Question

¿Cuántos cubos perfectos hay entre

2^8+1

y

2^{18}+1,

inclusive?

How many perfect cubes lie between

2^8+1

and

2^{18}+1,

inclusive?

4

9

10

57

58

Respuesta: E

Conceptos:potencia perfecta conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Un cubo perfecto en el intervalo tiene la forma

n^3

.

A perfect cube in the interval has the form

n^3

.

Pista grande:

Compara los límites con

6^3,7^3,64^3,

y

65^3

.

Compare the bounds to

6^3,7^3,64^3,

and

65^3

.

Solución en video:

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Solución escrita:

Como

6^3=216<257

y

257<343=7^3

, el menor cubo del intervalo es

7^3

. Además,

64^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3

, así que el mayor cubo es

64^3

.

Por tanto, las raíces cúbicas enteras son

7,8,\ldots,64

, un total de

64-7+1=58

.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Because

6^3=216<257

and

257<343=7^3

, the smallest cube in the interval is

7^3

. Also,

64^3=2^{18}<2^{18}+1<65^3

, so the largest cube is

64^3

.

The integer cube roots are therefore

7,8,\ldots,64

, a total of

64-7+1=58

.

Thus, E is the correct answer.