1985 AMC 8 Problema 9

Intenta el Problema 9 del 1985 AMC 8 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1985 AMC 8, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

9.

¿Cuál es el valor del producto de los 99 factores de abajo?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
What is the value of the product of the 99 factors below?
(1−12)(1−13)(1−14)⋯⋅(1−110) \begin{aligned} &\left(1 - \tfrac12\right)\left(1 - \tfrac13\right)\left(1 - \tfrac14\right) \cdots \\ &\quad {}\cdot \left(1 - \tfrac{1}{10}\right) \end{aligned}
110\dfrac{1}{10}
19\dfrac{1}{9}
12\dfrac{1}{2}
1011\dfrac{10}{11}
112\dfrac{11}{2}
Respuesta: A
Conceptos:telescópicafracción
Pista pequeña:
Reescribe cada factor: 1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
Rewrite each factor: 1−1k=k−1k1 - \dfrac1k = \dfrac{k-1}{k}
Pista grande:
Escribe el producto como 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10} y observa cómo se cancelan los términos consecutivos
Write the product as 12⋅23⋅34⋯910\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10} and watch consecutive terms cancel
Solución:
Cada factor 1−1k1 - \dfrac1k es igual a k−1k,\dfrac{k-1}{k}, así que el producto es
12⋅23⋅34⋯910.\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.
Cada numerador cancela el denominador anterior, y queda 110.\dfrac{1}{10}.
Así, la respuesta correcta es A.
Each factor 1−1k1 - \dfrac1k equals k−1k,\dfrac{k-1}{k}, so the product is
12⋅23⋅34⋯910.\dfrac12 \cdot \dfrac23 \cdot \dfrac34 \cdots \dfrac{9}{10}.
Every numerator cancels the previous denominator, leaving 110.\dfrac{1}{10}.
Thus, the correct answer is A .
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