Question

令 $N$ 为 $17017^{17}$ 的正整数因数中除以 $12$ 余 $5$ 的因数个数。求 $N$ 除以 $1000$ 的余数。

Let $N$ be the number of positive integer divisors of $17017^{17}$ that leave a remainder of $5$ upon division by $12.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

答案

答案：244

知识点：模运算质因数分解奇偶性分类讨论

难度评级：2600

解答：

因为 $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17$ ， $17017^{17}$ 的因数为 $7^a 11^b 13^c 17^d$ ，其中每个指数都在 $0$ 到 $17$ 之间。模 $12$ 时有 $13 \equiv 1$ ，且 $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ （因为 $17 \equiv 5$ ），所以一个因数的余数为 $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12}$ ，其中 $\alpha, \beta, \delta$ 是 $a, b, d$ 的奇偶性。

四个可能值 $1, 5, 7, 11$ 在模 $12$ 下按群 $\{1, 5, 7, 11\}$ 相乘，其中 $7 \cdot 11 \equiv 5$ 。检查八种奇偶模式可知，余数为 $5$ 当且仅当 $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ 或 $(1, 1, 0)$ 。每个奇偶条件在该指数的 $18$ 种选择中有 $9$ 种满足，而 $c$ 可任意选择，有 $18$ 种。

因此 $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244$ ，模 $1000$ 的余数为 $244$ 。

Since $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17,$ the divisors of $17017^{17}$ are $7^a 11^b 13^c 17^d$ with each exponent between $0$ and $17.$ Modulo $12$ we have $13 \equiv 1,$ and $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ (as $17 \equiv 5$ ), so the residue of a divisor is $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12},$ where $\alpha, \beta, \delta$ are the parities of $a, b, d.$

The four possible values $1, 5, 7, 11$ multiply like the group $\{1, 5, 7, 11\}$ mod $12,$ in which $7 \cdot 11 \equiv 5.$ Checking the eight parity patterns, the residue is $5$ exactly when $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ or $(1, 1, 0).$ Each parity condition is satisfied by $9$ of the $18$ choices of that exponent, while $c$ is free with $18$ choices.

Therefore $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244,$ and the remainder mod $1000$ is $244.$

2026 AIME I 第 8 题

答案：244

难度评级：2600

解答：

其他年份的第 8 题