Question

正实数 $b \ne 1$ 和 $n$ 满足方程以及 $n$ 的值为 $\frac{j}{k}$ ，其中 $j$ 和 $k$ 是互质的正整数。求 $j + k$ 。 $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ $b \cdot \log_b n = \log_b (bn).$

Positive real numbers $b \ne 1$ and $n$ satisfy the equations $\sqrt{\log_b n} = \log_b \sqrt{n}$ and $b \cdot \log_b n = \log_b (bn).$ The value of $n$ is $\frac{j}{k},$ where $j$ and $k$ are relatively prime positive integers. Find $j + k.$

答案

答案：881

知识点：对数换元法

难度评级：2100

解答：

令 $x = \log_b n$ 。第一个方程给出 $\sqrt{x} = \log_b n^{1/2} = \frac{x}{2}$ ，所以 $x = \frac{x^2}{4}$ ，得到 $x = 0$ 或 $x = 4$ 。若 $x = 0$ ，则 $n = 1$ ，第二个方程会变成 $0 = \log_b b = 1$ ，矛盾；因此 $x = 4$ 。

第二个方程给出 $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x$ ，所以 $4b = 5$ ，从而 $b = \frac{5}{4}$ 。于是已经是最简分数，所以 $j + k = 625 + 256 = 881$ 。 $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},$

Let $x = \log_b n.$ The first equation says $\sqrt{x} = \log_b n^{1/2} = \frac{x}{2},$ so $x = \frac{x^2}{4},$ giving $x = 0$ or $x = 4.$ If $x = 0$ then $n = 1,$ and the second equation would read $0 = \log_b b = 1,$ impossible; so $x = 4.$

The second equation says $bx = \log_b b + \log_b n = 1 + x,$ so $4b = 5$ and $b = \frac{5}{4}.$ Then $n = b^4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256},$ which is in lowest terms, so $j + k = 625 + 256 = 881.$

2023 AIME I 第 2 题

答案：881

难度评级：2100

解答：

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