Question

设 $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ ， $z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ ，其中 $i = \sqrt{-1}$ 。求满足方程 $i \cdot w^r = z^s$ 的有序数对 $(r, s)$ 的个数，其中两个分量都是不超过 $100$ 的正整数。

Let $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ and $z = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2},$ where $i = \sqrt{-1}.$ Find the number of ordered pairs $(r, s)$ of positive integers not exceeding $100$ that satisfy the equation $i \cdot w^r = z^s.$

答案

答案：834

知识点：复数棣莫弗定理模运算

难度评级：2300

解答：

$w$ 与 $z$ 的模都是 $1$ ：极坐标形式为 $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ ， $z = \operatorname{cis} 120^\circ$ ，而 $i = \operatorname{cis} 90^\circ$ 。因此方程 $i \cdot w^r = z^s$ 等价于辐角条件：也就是 $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

对每个 $s$ ，这确定了 $r \pmod{12}$ ：当 $s \equiv 1$ 、 $2$ 、或 $0 \pmod 3$ 时，余数 $4s - 3$ 分别为 $1$ 、 $5$ 或 $9$ （模 $12$ ）。在 $1 \le r \le 100$ 中，满足 $r \equiv 1 \pmod{12}$ 的有 $9$ 个，满足 $r \equiv 5$ 或 $r \equiv 9 \pmod{12}$ 的各有 $8$ 个。在 $1 \le s \le 100$ 中，满足 $s \equiv 1 \pmod 3$ 的有 $34$ 个，另外两个余数类各有 $33$ 个。

总数为 $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834$ 。

Both $w$ and $z$ have modulus $1:$ in polar form $w = \operatorname{cis} 30^\circ$ and $z = \operatorname{cis} 120^\circ,$ while $i = \operatorname{cis} 90^\circ.$ The equation $i \cdot w^r = z^s$ is therefore a statement about arguments: $90 + 30r \equiv 120s \pmod{360},$ i.e. $r + 3 \equiv 4s \pmod{12}.$

For each $s,$ this determines $r \pmod{12}:$ the residue $4s - 3$ is $1,$ $5,$ or $9$ modulo $12$ according as $s \equiv 1,$ $2,$ or $0 \pmod 3.$ Among $1 \le r \le 100$ there are $9$ values with $r \equiv 1 \pmod{12}$ and $8$ values each with $r \equiv 5$ or $r \equiv 9 \pmod{12}.$ Among $1 \le s \le 100$ there are $34$ values with $s \equiv 1 \pmod 3$ and $33$ values in each of the other two classes.

The count is $34 \cdot 9$ $+ 33 \cdot 8$ $+ 33 \cdot 8$ $= 306 + 264 + 264 = 834.$

2022 AIME I 第 4 题

答案：834

难度评级：2300

解答：

其他年份的第 4 题