Question

在顶点为 $(0, 0)$ 、 $(1, 0)$ 、 $(1, 1)$ 、 $(0, 1)$ 的单位正方形内部，均匀随机选取一点 $P$ 。由 $P$ 与点 $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ 确定的直线斜率大于或等于 $\frac{1}{2}$ 的概率可写成 $\frac{m}{n}$ ，其中 $m$ 与 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

Let $P$ be a point chosen uniformly at random in the interior of the unit square with vertices at $(0, 0),$ $(1, 0),$ $(1, 1),$ and $(0, 1).$ The probability that the slope of the line determined by $P$ and the point $\left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ is greater than or equal to $\frac{1}{2}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：171

知识点：几何概率斜率梯形

难度评级：2110

解答：

设 $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ ，且 $P = (x, y)$ 。斜率条件 $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ 在 $x \gt \frac{5}{8}$ 时变为 $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ ，在 $x \lt \frac{5}{8}$ 时变为 $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ （乘以负数 $x - \frac{5}{8}$ 会反转不等号）。

当 $x \gt \frac{5}{8}$ 时，正方形内位于直线 $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ 上方的区域是一个梯形，平行的竖边长度分别为 $\frac{5}{8}$ （在 $x = \frac{5}{8}$ 处）和 $\frac{7}{16}$ （在 $x = 1$ 处），宽为 $\frac{3}{8}$ ，面积为 $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}$ 。当 $x \lt \frac{5}{8}$ 时，直线下方的区域是一个梯形，平行边长度分别为 $\frac{1}{16}$ （在 $x = 0$ 处）和 $\frac{3}{8}$ （在 $x = \frac{5}{8}$ 处），宽为 $\frac{5}{8}$ ，面积为 $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}$ 。

概率为 $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128}$ ，所以 $m + n = 43 + 128 = 171$ 。

Let $Q = \left(\frac{5}{8}, \frac{3}{8}\right)$ and $P = (x, y).$ The slope condition $\frac{y - 3/8}{x - 5/8} \ge \frac{1}{2}$ becomes $y \ge \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \gt \frac{5}{8},$ and $y \le \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ when $x \lt \frac{5}{8}$ (multiplying by the negative quantity $x - \frac{5}{8}$ reverses the inequality).

For $x \gt \frac{5}{8},$ the region above the line $y = \frac{x}{2} + \frac{1}{16}$ inside the square is a trapezoid with parallel vertical sides of lengths $\frac{5}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and $\frac{7}{16}$ (at $x = 1$ ) and width $\frac{3}{8},$ with area $\frac{3}{8} \cdot \frac{5/8 + 7/16}{2} = \frac{51}{256}.$ For $x \lt \frac{5}{8},$ the region below the line is a trapezoid with parallel sides $\frac{1}{16}$ (at $x = 0$ ) and $\frac{3}{8}$ (at $x = \frac{5}{8}$ ) and width $\frac{5}{8},$ with area $\frac{5}{8} \cdot \frac{1/16 + 3/8}{2} = \frac{35}{256}.$

The probability is $\frac{51}{256} + \frac{35}{256} = \frac{86}{256} = \frac{43}{128},$ so $m + n = 43 + 128 = 171.$

2020 AIME II 第 2 题

答案：171

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 2 题