Question

对整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ ，设 $f(x) = x^2 + ax + b$ ， $g(x) = x^2 + cx + d$ 。求有多少个整数有序三元组 $(a, b, c)$ 满足各数绝对值不超过 $10$ ，并且存在整数 $d$ ，使得 $g(f(2)) = g(f(4)) = 0$ 。

For integers $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ let $f(x) = x^2 + ax + b$ and $g(x) = x^2 + cx + d.$ Find the number of ordered triples $(a, b, c)$ of integers with absolute values not exceeding $10$ for which there is an integer $d$ such that $g(f(2)) = g(f(4)) = 0.$

答案

答案：510

知识点：多项式韦达定理分类讨论

难度评级：2990

解答：

条件表示整数 $f(2) = 4 + 2a + b$ 和 $f(4) = 16 + 4a + b$ 都是首一二次式 $g$ 的根。这两个值相等恰好当 $a = -6$ 。

若 $a = -6$ ，则任意 $b$ 和任意 $c$ 都可以通过选择 $d = -f(2)^2 - c\,f(2)$ ，使 $f(2) = f(4)$ 成为 $g$ 的根，因此给出 $21 \cdot 21 = 441$ 个三元组。若 $a \ne -6$ ，这两个不同的值必须是 $g$ 的两个根，所以韦达定理迫使 $c = -(f(2) + f(4))$ $= -(20 + 6a + 2b)$ ，此时 $d = f(2)f(4)$ 是整数。要求 $|c| \le 10$ 等价于 $-15 \le 3a + b \le -5$ 。

对每个 $a$ ，数满足 $-15 - 3a \le b \le -5 - 3a$ ：且 $b \in [-10, 10]$ 的整数 b：当 $a = -8$ 、 $-7$ 、 $-5$ 、 $-4$ 、 $-3$ 、 $-2$ 、 $-1$ 、 $0, 1$ 时，数量分别为 $2, 5, 11, 11, 11, 11, 9, 6, 3$ ，而其他所有 $a \ne -6$ 时为 $0$ ，总计 $69$ 。答案是 $441 + 69 = 510$ 。

The condition says the integers $f(2) = 4 + 2a + b$ and $f(4) = 16 + 4a + b$ are both roots of the monic quadratic $g.$ These two values are equal exactly when $a = -6.$

If $a = -6,$ then for any $b$ and any $c$ the choice $d = -f(2)^2 - c\,f(2)$ makes $f(2) = f(4)$ a root of $g,$ giving $21 \cdot 21 = 441$ triples. If $a \ne -6,$ the two distinct values must be the two roots of $g,$ so Vieta forces $c = -(f(2) + f(4))$ $= -(20 + 6a + 2b),$ and then $d = f(2)f(4)$ is an integer. The requirement $|c| \le 10$ becomes $-15 \le 3a + b \le -5.$

For each $a,$ count integers $b \in [-10, 10]$ with $-15 - 3a \le b \le -5 - 3a:$ the counts are $2, 5, 11, 11, 11, 11, 9, 6, 3$ for $a = -8,$ $-7,$ $-5,$ $-4,$ $-3,$ $-2,$ $-1,$ $0, 1$ respectively, and $0$ for all other $a \ne -6,$ totaling $69.$ The answer is $441 + 69 = 510.$

2020 AIME I 第 11 题

答案：510

难度评级：2990

解答：

其他年份的第 11 题