2019 AIME I 第 2 题

Question

Jenn 随机选择一个数

J

，它来自

1

、

2

、

3

、

\ldots

、

19

、

20

。然后 Bela 随机选择一个数

B

，它也来自

1

、

2

、

3

、

\ldots

、

19

、

20

，且不同于

J

。

B - J

至少为

2

的概率可以表示为

\frac{m}{n}

，其中

m

与

n

是互质正整数。求

m + n

。

Jenn randomly chooses a number

J

from

1,

2,

3,

\ldots,

19,

20.

Bela then randomly chooses a number

B

from

1,

2,

3,

\ldots,

19,

20

distinct from

J.

The value of

B - J

is at least

2

with a probability that can be expressed in the form

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

答案

答案：29

知识点：基本概率数对计数

难度评级：1950

小提示：

20 \cdot 19

个等可能的有序对

(J, B)

，其中

B \neq J

All

20 \cdot 19

ordered pairs

(J, B)

with

B \neq J

are equally likely

大提示：

对每个

J

，有

19 - J

个

B

满足

B \ge J + 2

，所以有利情况数是

1 + 2 + \cdots + 18

For each

J

there are

19 - J

values of

B

with

B \ge J + 2,

so the favorable count is

1 + 2 + \cdots + 18

解答：

20 \cdot 19 = 380

个等可能的有序对

(J, B)

，其中

B \neq J

。条件

B \ge J + 2

给出

19 - J

个

B

的选择，只需考虑

J \le 18

，所以有利有序对数为

\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171 \end{aligned}\text{。}

概率为

\frac{171}{380} = \frac{9}{20}

，所以

m + n = 9 + 20 = 29

。

There are

20 \cdot 19 = 380

equally likely ordered pairs

(J, B)

with

B \neq J.

The condition

B \ge J + 2

allows

19 - J

choices of

B

for each

J \le 18,

so the number of favorable pairs is

\begin{aligned} &\sum_{J=1}^{18} (19 - J) \\ &= 18 + 17 + \cdots + 1 = 171. \end{aligned}

The probability is

\frac{171}{380} = \frac{9}{20},

so

m + n = 9 + 20 = 29.

2019 AIME I 第 2 题

答案：29

难度评级：1950

小提示：

大提示：

解答：

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